Fiche 76 • Diffraction
Supposons l’ouverture transparente, par exemple un trou. L’amplitude de l’onde incidente
étant
, l’amplitude de l’onde diffractée au point P est proportionnelle à
. Soit C
cette constante de proportionnalité.
L’amplitude complexe de l’onde au point M s’écrit donc :
c) Diffraction de Fraunhofer d’une fente
L’amplitude complexe se factorisant suivant X et Y, étudions l’intégrale suivant X.
Notons
l’angle orienté, avec l’axe OZ, de la projection de
dans le plan (YOZ).
Pour des angles
petits :
⇒
De la même façon, notons , supposé petit, l’angle avec l’axe OZ de la projection de dans
le plan (XOZ). Par suite, en introduisant la fonction « sinus cardinal » :
,
l’amplitude complexe diffractée en
est :
.
Considérons l’OPPM (1) incidente en O, puis diffractée
dans la direction
et l’OPPM (2) incidente en P, puis diffractée dans la direction
. Pour calculer le déphasage
de (2) par rapport à (1) au point
, traçons le
plan d’onde en O de l’onde incidente et le plan d’onde en P
de l’onde diffractée. Les points O et J sont en phase ; de
même les points P et K sont en phase.
En prenant comme sens positif le sens de propagation de la
lumière, le déphasage
s’écrit :
• Éclairons une fente de largeur a et de longueur b (
) par une
onde plane tombant normalement au plan de la fente. L’ensemble
est dans l’air () . Dans le plan de la fente, le point courant P est
repéré par les axes OX et OY, O étant le centre de symétrie de la
fente. L’axe OZ est perpendiculaire au plan de la fente. L’amplitude
complexe diffractée au point M à l’infini dans la direction
s’écrit :
( 1)
plan
du diaphragme
O
P
J
K
(1)
(2)
u d
u d
ϕ M∞
( )
M ∞
ϕ M ∞
( )
ϕ MO PO PO P
∞
( ) =− ⋅+⋅=
−
(
) ⋅
kk
kk
id
di
a 0
a S
0 dP ( )
aa
S
Md P
jO P
∞
( ) =
( )
−
(
) ⋅
∫∫
Ce
kk
D
di
0
ab <
n = 1
u d
aa Md
d
jj
∞
( ) =
−
(
)
−
−
(
)
−
∫
Ce
Xe
Y
Xk
k
a
a
Yk
k
b
b
dX
iX
dY
iY
0
2
2
2
2 2
∫
O
X
Y
a
2
a
2
b
2
b
2
θ X
k d
θ X
kk iX
dX
X
X
== 0
2
2
00
et
π
λ
θ
πθ
λ
sin
eX
ee
XX
X
X
a
a
X
aa
jj
j
d
j
2
2
2
0
2
22
00
0
2
π
λ
π
θπ θ
λ
2πθ
λ
λ
θ
−
∫
=−
⎛
⎝ ⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
a
a
a
X
X
sin
πθ
λ
πθ
λ
0
0
θ Y
k d
sin
sin
c x
x
x
() =
M ∞
aa θθ XY
XY
Ca b
ab
,s in
sin
(
) =
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
0
00
cc
πθ
λ
πθ
λ
242
Supposons l’ouverture transparente, par exemple un trou. L’amplitude de l’onde incidente
étant
, l’amplitude de l’onde diffractée au point P est proportionnelle à
. Soit C
cette constante de proportionnalité.
L’amplitude complexe de l’onde au point M s’écrit donc :
c) Diffraction de Fraunhofer d’une fente
L’amplitude complexe se factorisant suivant X et Y, étudions l’intégrale suivant X.
Notons
l’angle orienté, avec l’axe OZ, de la projection de
dans le plan (YOZ).
Pour des angles
petits :
⇒
De la même façon, notons , supposé petit, l’angle avec l’axe OZ de la projection de dans
le plan (XOZ). Par suite, en introduisant la fonction « sinus cardinal » :
,
l’amplitude complexe diffractée en
est :
.
Considérons l’OPPM (1) incidente en O, puis diffractée
dans la direction
et l’OPPM (2) incidente en P, puis diffractée dans la direction
. Pour calculer le déphasage
de (2) par rapport à (1) au point
, traçons le
plan d’onde en O de l’onde incidente et le plan d’onde en P
de l’onde diffractée. Les points O et J sont en phase ; de
même les points P et K sont en phase.
En prenant comme sens positif le sens de propagation de la
lumière, le déphasage
s’écrit :
• Éclairons une fente de largeur a et de longueur b (
) par une
onde plane tombant normalement au plan de la fente. L’ensemble
est dans l’air () . Dans le plan de la fente, le point courant P est
repéré par les axes OX et OY, O étant le centre de symétrie de la
fente. L’axe OZ est perpendiculaire au plan de la fente. L’amplitude
complexe diffractée au point M à l’infini dans la direction
s’écrit :
( 1)
plan
du diaphragme
O
P
J
K
(1)
(2)
u d
u d
ϕ M∞
( )
M ∞
ϕ M ∞
( )
ϕ MO PO PO P
∞
( ) =− ⋅+⋅=
−
(
) ⋅
kk
kk
id
di
a 0
a S
0 dP ( )
aa
S
Md P
jO P
∞
( ) =
( )
−
(
) ⋅
∫∫
Ce
kk
D
di
0
ab <
n = 1
u d
aa Md
d
jj
∞
( ) =
−
(
)
−
−
(
)
−
∫
Ce
Xe
Y
Xk
k
a
a
Yk
k
b
b
dX
iX
dY
iY
0
2
2
2
2 2
∫
O
X
Y
a
2
a
2
b
2
b
2
θ X
k d
θ X
kk iX
dX
X
X
== 0
2
2
00
et
π
λ
θ
πθ
λ
sin
eX
ee
XX
X
X
a
a
X
aa
jj
j
d
j
2
2
2
0
2
22
00
0
2
π
λ
π
θπ θ
λ
2πθ
λ
λ
θ
−
∫
=−
⎛
⎝ ⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
a
a
a
X
X
sin
πθ
λ
πθ
λ
0
0
θ Y
k d
sin
sin
c x
x
x
() =
M ∞
aa θθ XY
XY
Ca b
ab
,s in
sin
(
) =
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
0
00
cc
πθ
λ
πθ
λ
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