Fiche 5 • Loi de composition des mouvements
O
x
3. EN PRATIQUE…
Étudions le mouvement d’une rustine collée sur la roue arrière d’une bicyclette de rayon r. La
rustine est assimilée à un point matériel noté M.
Soit une route que l’on considère comme le référentiel fixe ou référentiel absolu, noté (R 0 )
(c’est-à-dire qu’il s’agit du référentiel à partir duquel on veut connaître le mouvement de la
rustine). Ce référentiel est muni d’un système de trois axes orthogonaux, ,
, , d’origine O, muni d’une base directe
. On considère que la bicyclette roule sur la route
avec une vitesse constante par rapport à (R 0 ) telle que :
.
Le point M est en rotation autour de l’axe
avec une vitesse angulaire w (t) .
Æ Expression de la vitesse relative : vitesse du point M par rapport au référentiel (R 1 )
Le point M décrit un cercle de centre
et de rayon r par rapport à (R 1 ), sa vitesse est donc :
Æ Expression de la vitesse d’entraînement (R 1 )/(R 0 )
Le référentiel (R 1 ) décrit un mouvement de translation par rapport à (R 0 ), d’où :
Æ Expression de la vitesse absolue : vitesse du point M par rapport au référentiel (R 0 )
Le mouvement du point M par rapport à (R 0 ) est une cycloïde. La vitesse du point M par rapport à (R 0 ) est délicate à déterminer car le point M est en rotation par rapport à (R 1 ) et (R 1 )
est en translation par rapport à (R 0 ). Il faut donc tenir compte de la combinaison des 2 mouvements pour établir l’expression de la vitesse du point M par rapport à (R 0 ) :
Ce résultat établit la nuance entre une vitesse calculée par rapport à un référentiel et le résultat de cette vitesse exprimé dans un repère de projection qui n’est pas nécessairement le
repère lié au référentiel par rapport auquel la vitesse est calculée.
On lie à la roue arrière, qui roule sans glisser
par rapport au sol, un référentiel, noté (R 1 ),
muni de trois axes orthogonaux
,
,
, d’origine
le centre de la roue, et d’une
base directe
. Le référentiel (R 1 ) est en
translation uniforme par rapport au référentiel
(R 0 ), par conséquent :
,
et
.
O
x O
y O
z
ijk ,,
(
)
Vx i
bic/R 0 =
x
y
O
r
θ
O1
M
i
Route
j
1
j
1
i
(R1)
1
x
1
y
(R0)
(t)
O 11
x O 11
y
O 11
z
O 1
ijk 111 ,,
(
)
ii 1 =
jj 1 =
kk 1 =
O 1 1
k
O 1
VV
t
ri
R
t
==
−
M/R
1
R
(t)
1
1
=
dO M
d
()
(sin
c
ωθ 1 o o s( sinc os
θθ
θ
jr
ij
11
1
) =
)
θ−
Vx ix i
E
=
= 1
VV
tt
A
tt
==
()
()
M/R
R
R
0
0
1
=
dOM
d
dO M
d
1
+ +
−
()
dOO
d
=
)
R
Vitesse
0
1
11
t
t
ri
j
θ (sin
cos
θθ
de M/R
translation de
R /R
1
10
+
()
xi 1
( ( )
17
O
x
3. EN PRATIQUE…
Étudions le mouvement d’une rustine collée sur la roue arrière d’une bicyclette de rayon r. La
rustine est assimilée à un point matériel noté M.
Soit une route que l’on considère comme le référentiel fixe ou référentiel absolu, noté (R 0 )
(c’est-à-dire qu’il s’agit du référentiel à partir duquel on veut connaître le mouvement de la
rustine). Ce référentiel est muni d’un système de trois axes orthogonaux, ,
, , d’origine O, muni d’une base directe
. On considère que la bicyclette roule sur la route
avec une vitesse constante par rapport à (R 0 ) telle que :
.
Le point M est en rotation autour de l’axe
avec une vitesse angulaire w (t) .
Æ Expression de la vitesse relative : vitesse du point M par rapport au référentiel (R 1 )
Le point M décrit un cercle de centre
et de rayon r par rapport à (R 1 ), sa vitesse est donc :
Æ Expression de la vitesse d’entraînement (R 1 )/(R 0 )
Le référentiel (R 1 ) décrit un mouvement de translation par rapport à (R 0 ), d’où :
Æ Expression de la vitesse absolue : vitesse du point M par rapport au référentiel (R 0 )
Le mouvement du point M par rapport à (R 0 ) est une cycloïde. La vitesse du point M par rapport à (R 0 ) est délicate à déterminer car le point M est en rotation par rapport à (R 1 ) et (R 1 )
est en translation par rapport à (R 0 ). Il faut donc tenir compte de la combinaison des 2 mouvements pour établir l’expression de la vitesse du point M par rapport à (R 0 ) :
Ce résultat établit la nuance entre une vitesse calculée par rapport à un référentiel et le résultat de cette vitesse exprimé dans un repère de projection qui n’est pas nécessairement le
repère lié au référentiel par rapport auquel la vitesse est calculée.
On lie à la roue arrière, qui roule sans glisser
par rapport au sol, un référentiel, noté (R 1 ),
muni de trois axes orthogonaux
,
,
, d’origine
le centre de la roue, et d’une
base directe
. Le référentiel (R 1 ) est en
translation uniforme par rapport au référentiel
(R 0 ), par conséquent :
,
et
.
O
x O
y O
z
ijk ,,
(
)
Vx i
bic/R 0 =
x
y
O
r
θ
O1
M
i
Route
j
1
j
1
i
(R1)
1
x
1
y
(R0)
(t)
O 11
x O 11
y
O 11
z
O 1
ijk 111 ,,
(
)
ii 1 =
jj 1 =
kk 1 =
O 1 1
k
O 1
VV
t
ri
R
t
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M/R
1
R
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1
1
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dO M
d
()
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c
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θθ
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jr
ij
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E
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==
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()
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R
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dO M
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1
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1
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t
t
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j
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cos
θθ
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R /R
1
10
+
()
xi 1
( ( )
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