Fiche 61 • Ondes sonores
→ Comparons ces valeurs aux valeurs à l’équilibre : p 0 = 10 5 Pa et ρ 0 = 1,3 kg.m –3
On constate que
,
et
. L’approximation acoustique est bien vérifiée.
La caisse de résonance contient de l’air excité par la vibration du diapason. Le milieu étant limité,
l’onde sonore dans la caisse est une onde stationnaire. Le champ de vitesse est donné par :
(fiche 60).
Déterminons les constantes ϕ et Φ à l’aide des conditions aux limites :
–E n x = 0, l’extrémité étant fermée, la paroi est fixe ⇒
pour tout t :
C’est un nœud de vitesse. ⇒
Comme
et
⇒
⇒
–E n x = L, l’extrémité est ouverte : c’est un ventre de vitesse
⇒
. C’est un ventre, si
⇒
⇔
.
Le mode fondamental correspond à m = 0. Son vecteur d’onde est
.
Sa fréquence est
et sa longueur d’onde
.
À un nœud de vitesse correspond un ventre de surpression et à un ventre de vitesse correspond un nœud de surpression.
• Frappons un diapason métallique, vibrant à la fréquence
f = 440 Hz (note « la »). Le son émis est inaudible.
Fixons ce diapason sur une caisse de résonance, qui est
une boîte en bois creuse de longueur L = 19,6 cm dont
une extrémité est fermée et l’autre est ouverte. Le son
est alors audible.
La caisse sera supposée unidimensionnelle suivant Ox.
Montrons que le mode fondamental de la caisse de
résonance est excité.
Le mode excité est bien le mode fondamental, ce qui explique
le rôle de la caisse de résonance permettant d’amplifier le son
émis par le diapason quand on le frappe.
Représentons l’enveloppe de l’onde stationnaire correspondant à ce mode fondamental.
Les conditions aux limites pour la surpression sont :
– En x = 0, l’extrémité étant fermée, il y a un ventre de surpression.
– En x = L, l’extrémité étant ouverte, l’atmosphère impose la
pression p 0 , par suite la surpression est nulle, il y a un nœud de
surpression.
pp ac
0
0
ρρ ac
0
0
vc s
0 <<
x
L
0
air
vxtv
kx
t
,c os
cos
() =+ (
)+ (
)
0
ϕω Φ
vt 00 ,
() =
vt vt
00 0
,c os cos
() =+ (
) =
ϕω Φ
v 0 0
≠
cos ωΦ t +
(
) ≠ 0
cos ϕ=0
ϕ
π
= 2
vLtv
kL
t
,c os
cos
() =+ (
)+ (
)
0
ϕω Φ
vk Lv
00 cos
+
(
) =
ϕ
coss in
kL
kL
+
(
) ==
ϕ
1kL
mm
=+
π
π
2
avec entier
*
k
L
0
2
=
π
f
ck
c
L
ss
0
0
24
349
40 196
440
==
= ×
=
π
,
Hz
λ 0 47 84
== L
, cm
x
L
0 vitesse
surpression
195
→ Comparons ces valeurs aux valeurs à l’équilibre : p 0 = 10 5 Pa et ρ 0 = 1,3 kg.m –3
On constate que
,
et
. L’approximation acoustique est bien vérifiée.
La caisse de résonance contient de l’air excité par la vibration du diapason. Le milieu étant limité,
l’onde sonore dans la caisse est une onde stationnaire. Le champ de vitesse est donné par :
(fiche 60).
Déterminons les constantes ϕ et Φ à l’aide des conditions aux limites :
–E n x = 0, l’extrémité étant fermée, la paroi est fixe ⇒
pour tout t :
C’est un nœud de vitesse. ⇒
Comme
et
⇒
⇒
–E n x = L, l’extrémité est ouverte : c’est un ventre de vitesse
⇒
. C’est un ventre, si
⇒
⇔
.
Le mode fondamental correspond à m = 0. Son vecteur d’onde est
.
Sa fréquence est
et sa longueur d’onde
.
À un nœud de vitesse correspond un ventre de surpression et à un ventre de vitesse correspond un nœud de surpression.
• Frappons un diapason métallique, vibrant à la fréquence
f = 440 Hz (note « la »). Le son émis est inaudible.
Fixons ce diapason sur une caisse de résonance, qui est
une boîte en bois creuse de longueur L = 19,6 cm dont
une extrémité est fermée et l’autre est ouverte. Le son
est alors audible.
La caisse sera supposée unidimensionnelle suivant Ox.
Montrons que le mode fondamental de la caisse de
résonance est excité.
Le mode excité est bien le mode fondamental, ce qui explique
le rôle de la caisse de résonance permettant d’amplifier le son
émis par le diapason quand on le frappe.
Représentons l’enveloppe de l’onde stationnaire correspondant à ce mode fondamental.
Les conditions aux limites pour la surpression sont :
– En x = 0, l’extrémité étant fermée, il y a un ventre de surpression.
– En x = L, l’extrémité étant ouverte, l’atmosphère impose la
pression p 0 , par suite la surpression est nulle, il y a un nœud de
surpression.
pp ac
0
0
ρρ ac
0
0
vc s
0 <<
x
L
0
air
vxtv
kx
t
,c os
cos
() =+ (
)+ (
)
0
ϕω Φ
vt 00 ,
() =
vt vt
00 0
,c os cos
() =+ (
) =
ϕω Φ
v 0 0
≠
cos ωΦ t +
(
) ≠ 0
cos ϕ=0
ϕ
π
= 2
vLtv
kL
t
,c os
cos
() =+ (
)+ (
)
0
ϕω Φ
vk Lv
00 cos
+
(
) =
ϕ
coss in
kL
kL
+
(
) ==
ϕ
1kL
mm
=+
π
π
2
avec entier
*
k
L
0
2
=
π
f
ck
c
L
ss
0
0
24
349
40 196
440
==
= ×
=
π
,
Hz
λ 0 47 84
== L
, cm
x
L
0 vitesse
surpression
195