Fiche 61 • Ondes sonores
Or à l’équilibre
⇒
; en utilisant
la compressibilité isentropique (fiche 18) ⇒
En éliminant ρ entre ces trois équations, on obtient :
De même,
et
.
La surpression p ac , la vitesse et ac vérifient l’équation de d’Alembert.
La célérité de l’onde sonore est donnée par :
.
Dans les conditions normales de pression et de température, la célérité du son (aussi appelée
vitesse du son) est, dans l’air, de 331 m.s –1 et, dans l’eau, de 1 500 m.s –1 .
c) Onde sonore plane progressive monochromatique (O.P.P.M.)
Dans un milieu à 3 dimensions, considérons, au point et à l’instant t, une O.P.P.M. sonore
se propageant dans la direction . En utilisant la notation complexe (fiche 60), la surpression,
par exemple, s’écrit :
où ω est la pulsation de l’onde,
son
amplitude et
son vecteur d’onde. Cette notation simplifie les calculs.
Après linéarisation, exprimons les relations couplant les grandeurs complexes
:
c
, or
et
⇒
c
, or
et
⇒
⇒ La vitesse
est parallèle à la direction de propagation : l’onde sonore est longitudinale.
Posons
. En notation réelle :
,
et
.
d) Intensité sonore et niveau sonore
c Considérons une O.P.P.M. sonore se propageant dans la direction , la force
acoustique s’exerçant sur un élément de surface dS normale à est donnée
par
(fiche 19).
D’où l’on déduit la puissance de cette force (fiche 7) :
.
Comme la vitesse
est colinéaire à ,
. La densité surfacique de puissance
acoustique (W.m –2 ) est l’énergie traversant l’unité de surface pendant l’unité de temps :
Or
et
⇔
⇒
.
L’énergie est transportée par l’onde dans la direction de propagation à la célérité c s .
c L’intensité sonore I est la valeur moyenne de la densité surfacique de puissance acoustique.
Or la vitesse d’amplitude v 0 est
:
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =−
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
ρ
ρ
ρ
p
sp
s
s
p
0
00
ρ
ρ
ac
S
ac
p
p
=
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
χ
ρ
ρ
S
S
p
=
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
0
0
ρρ χ
ac
Sa c
p
= 0
χ
ρ
S
ac
ac
p
t
v
x
v
t
p
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎪
⎪
0
0
0
Dérivons par rapport à :
D
t χ S
ac
p
t
v
xx
∂
∂
=−
∂
∂∂
2
2
2
é é rivons par rapport à : 0
x ρ
∂
∂∂
=−
∂
∂
⎫
2
2
2
v
xx
p
x
ac
⎬ ⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⇒
En éliminant
,
∂
∂∂
∂
∂
−
∂
∂
=
2
2
2
0
2
2
1
0
v
xt
p
t
p
x
ac
S
ac
ρχ
∂
∂
−
∂
∂
=
2
2
0
2
2
1
0
v
t
v
x
S
ρχ
∂
∂
−
∂
∂
=
2
2
0
2
2
1
0
ρ
ρχ
ρ
ac
S
ac
tx
v
c s
S
=
1
0
ρχ
r
u
pr tp e
ac
ac
tk r
(,)
=
−⋅+
(
)
0 j ωϕ
p ac
0
kk u
=
pv ac
ac
, et
ρ
ρ 0
∂
∂
=−
v
t
p ac
grad
∂
∂
=
v
t
v
jω
grad
j
pk p
ac
ac
=−
jj ρω 0
vk p ac
=
∂
∂
+=
ρ
ρ
ac
t
v
0
0
div
∂
∂
=
ρ
ωρ
ac
ac
t
j
divj
vk v
=− ⋅
jj ωρ
ρ
ac
kv
−⋅ =
0
0
vrt ,
()
u
vrtv rtu
,,
() = ()
ρω 0 vk p ac
=
ωρ
ρ
ac
kv
−= 0
0 ω=ck s
p
p 0
d S
u
u
u
dd
Fp Su
ac
ac
=
dd
d
P ac
ac
ac
FvpvuS
=⋅ =⋅
v
u dd P ac
ac
pv S
=
jp vu
ac
ac
=
ρω 0 vk p ac
=
ω=ck s
pc v
ac
s
=ρ 0
jv cu
ac
s
=ρ 0
2
vrtv
tk ur
,c os
() =− ⋅+
(
)
0
ωϕ
193
Or à l’équilibre
⇒
; en utilisant
la compressibilité isentropique (fiche 18) ⇒
En éliminant ρ entre ces trois équations, on obtient :
De même,
et
.
La surpression p ac , la vitesse et ac vérifient l’équation de d’Alembert.
La célérité de l’onde sonore est donnée par :
.
Dans les conditions normales de pression et de température, la célérité du son (aussi appelée
vitesse du son) est, dans l’air, de 331 m.s –1 et, dans l’eau, de 1 500 m.s –1 .
c) Onde sonore plane progressive monochromatique (O.P.P.M.)
Dans un milieu à 3 dimensions, considérons, au point et à l’instant t, une O.P.P.M. sonore
se propageant dans la direction . En utilisant la notation complexe (fiche 60), la surpression,
par exemple, s’écrit :
où ω est la pulsation de l’onde,
son
amplitude et
son vecteur d’onde. Cette notation simplifie les calculs.
Après linéarisation, exprimons les relations couplant les grandeurs complexes
:
c
, or
et
⇒
c
, or
et
⇒
⇒ La vitesse
est parallèle à la direction de propagation : l’onde sonore est longitudinale.
Posons
. En notation réelle :
,
et
.
d) Intensité sonore et niveau sonore
c Considérons une O.P.P.M. sonore se propageant dans la direction , la force
acoustique s’exerçant sur un élément de surface dS normale à est donnée
par
(fiche 19).
D’où l’on déduit la puissance de cette force (fiche 7) :
.
Comme la vitesse
est colinéaire à ,
. La densité surfacique de puissance
acoustique (W.m –2 ) est l’énergie traversant l’unité de surface pendant l’unité de temps :
Or
et
⇔
⇒
.
L’énergie est transportée par l’onde dans la direction de propagation à la célérité c s .
c L’intensité sonore I est la valeur moyenne de la densité surfacique de puissance acoustique.
Or la vitesse d’amplitude v 0 est
:
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =−
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
ρ
ρ
ρ
p
sp
s
s
p
0
00
ρ
ρ
ac
S
ac
p
p
=
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
χ
ρ
ρ
S
S
p
=
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
0
0
ρρ χ
ac
Sa c
p
= 0
χ
ρ
S
ac
ac
p
t
v
x
v
t
p
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎪
⎪
0
0
0
Dérivons par rapport à :
D
t χ S
ac
p
t
v
xx
∂
∂
=−
∂
∂∂
2
2
2
é é rivons par rapport à : 0
x ρ
∂
∂∂
=−
∂
∂
⎫
2
2
2
v
xx
p
x
ac
⎬ ⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⇒
En éliminant
,
∂
∂∂
∂
∂
−
∂
∂
=
2
2
2
0
2
2
1
0
v
xt
p
t
p
x
ac
S
ac
ρχ
∂
∂
−
∂
∂
=
2
2
0
2
2
1
0
v
t
v
x
S
ρχ
∂
∂
−
∂
∂
=
2
2
0
2
2
1
0
ρ
ρχ
ρ
ac
S
ac
tx
v
c s
S
=
1
0
ρχ
r
u
pr tp e
ac
ac
tk r
(,)
=
−⋅+
(
)
0 j ωϕ
p ac
0
kk u
=
pv ac
ac
, et
ρ
ρ 0
∂
∂
=−
v
t
p ac
grad
∂
∂
=
v
t
v
jω
grad
j
pk p
ac
ac
=−
jj ρω 0
vk p ac
=
∂
∂
+=
ρ
ρ
ac
t
v
0
0
div
∂
∂
=
ρ
ωρ
ac
ac
t
j
divj
vk v
=− ⋅
jj ωρ
ρ
ac
kv
−⋅ =
0
0
vrt ,
()
u
vrtv rtu
,,
() = ()
ρω 0 vk p ac
=
ωρ
ρ
ac
kv
−= 0
0 ω=ck s
p
p 0
d S
u
u
u
dd
Fp Su
ac
ac
=
dd
d
P ac
ac
ac
FvpvuS
=⋅ =⋅
v
u dd P ac
ac
pv S
=
jp vu
ac
ac
=
ρω 0 vk p ac
=
ω=ck s
pc v
ac
s
=ρ 0
jv cu
ac
s
=ρ 0
2
vrtv
tk ur
,c os
() =− ⋅+
(
)
0
ωϕ
193