61 Ondes sonores
1. EN QUELQUES MOTS…
L’onde sonore est la propagation d’une perturbation dans un milieu matériel. La grandeur
qui se propage dans un fluide est une variation locale de pression, sans transport de matière.
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
Une onde sonore ne se propage pas dans le vide mais a besoin d’un milieu matériel pour se
propager. La célérité du son est notée .
a) Approximation acoustique
Un fluide compressible au repos est caractérisé, à l’équilibre thermodynamique, par sa
masse volumique et sa pression . Lors du passage de l’onde sonore dans le fluide, les
grandeurs locales décrivant le fluide en représentation eulérienne sont modifiées. Au point
et à l’instant t, le fluide est alors décrit, par :
,
et la vitesse
. Les écarts par rapport à l’équilibre sont :
–l a variation de pression appelée pression acoustique ou surpression :
–l a variation de masse volumique:
–l a vitesse
L’approximation acoustique suppose que les écarts par rapport à l’équilibre sont faibles :
,
et
. Elle permet la linéarisation des équations décrivant le fluide.
b) Équations de propagation
Considérons une onde sonore se propageant dans un fluide unidimensionnel selon l’axe .
Au point x à l’instant t, les trois grandeurs locales décrivant le fluide sont : la vitesse
,
,
. Ces trois variables vérifient les 3 équations :
–C onservation de la masse (fiche 32) :
(1)
–É quation d’Euler (fiche 32) :
(2)
–C omme la perturbation évolue rapidement, les transferts thermiques entre particules fluides peuvent être négligés : elles évoluent de manière adiabatique. De plus, les phénomènes
dissipatifs dans le fluide sont considérés comme négligeables, l’évolution est réversible. Il
est donc possible de considérer que l’évolution des particules fluides est isentropique :
l’entropie massique s de la particule fluide en x, t vérifie
(3)
Utilisons l’approximation acoustique et linéarisons ces 3 équations au 1 er ordre en v, p ac et ρ ac :
–( 1) ⇔
⇒
–( 2) ⇔
⇒
–( 3)
⇔
⇒
les dérivées partielles étant prises à l’équilibre.
c s
ρ 0
p 0
x, y,z
(
)
ρ xyzt ,,,
(
) pxyzt ,,,
(
)
vxyzt ,,,
(
)
p
x yzt
p xyzt
p
ac
,,,
, ,,
() = () − 0
ρρ
ρ
ac xyzt
xyzt
,,,, ,,
(
) = (
) − 0
vxyzt ,,,
(
)
pp ac 0 ρρ ac 0
vc s
<<
O
x
vxtv xt i
,, =
(
) ()pxt ,
() ρ xt ,
()
∂
∂
+
∂ ()
∂
=
ρρ
t
v
x
0
ρ
∂
∂
+
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =−
∂
∂
v
t
v
v
x
p
x
spsp ρρ 00 ,,
(
) = ()
∂+ (
)
∂
+
∂+ (
)
(
)
∂
=
ρρ
ρρ
00
0
ac
ac
t
v
x
∂
∂
+
∂
∂
=
ρ
ρ
ac
t
v
x
0
0
ρρ 0
0
+
(
)
∂
∂
+
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =−
∂+ (
)
∂
ac
ac
v
t
v
v
x
pp
x
ρ 0
∂
∂
=−
∂
∂
v
t
p
x
ac
spsp
p
ac
ac
ρρ ρ
00
00
,,
(
) =+
+
(
) spsp
ss
p
p
p
ac
ρρ
ρ
ρ
ρ
00
00
0
0
,,
(
) = (
) +
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
+
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
a a c
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1. EN QUELQUES MOTS…
L’onde sonore est la propagation d’une perturbation dans un milieu matériel. La grandeur
qui se propage dans un fluide est une variation locale de pression, sans transport de matière.
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
Une onde sonore ne se propage pas dans le vide mais a besoin d’un milieu matériel pour se
propager. La célérité du son est notée .
a) Approximation acoustique
Un fluide compressible au repos est caractérisé, à l’équilibre thermodynamique, par sa
masse volumique et sa pression . Lors du passage de l’onde sonore dans le fluide, les
grandeurs locales décrivant le fluide en représentation eulérienne sont modifiées. Au point
et à l’instant t, le fluide est alors décrit, par :
,
et la vitesse
. Les écarts par rapport à l’équilibre sont :
–l a variation de pression appelée pression acoustique ou surpression :
–l a variation de masse volumique:
–l a vitesse
L’approximation acoustique suppose que les écarts par rapport à l’équilibre sont faibles :
,
et
. Elle permet la linéarisation des équations décrivant le fluide.
b) Équations de propagation
Considérons une onde sonore se propageant dans un fluide unidimensionnel selon l’axe .
Au point x à l’instant t, les trois grandeurs locales décrivant le fluide sont : la vitesse
,
,
. Ces trois variables vérifient les 3 équations :
–C onservation de la masse (fiche 32) :
(1)
–É quation d’Euler (fiche 32) :
(2)
–C omme la perturbation évolue rapidement, les transferts thermiques entre particules fluides peuvent être négligés : elles évoluent de manière adiabatique. De plus, les phénomènes
dissipatifs dans le fluide sont considérés comme négligeables, l’évolution est réversible. Il
est donc possible de considérer que l’évolution des particules fluides est isentropique :
l’entropie massique s de la particule fluide en x, t vérifie
(3)
Utilisons l’approximation acoustique et linéarisons ces 3 équations au 1 er ordre en v, p ac et ρ ac :
–( 1) ⇔
⇒
–( 2) ⇔
⇒
–( 3)
⇔
⇒
les dérivées partielles étant prises à l’équilibre.
c s
ρ 0
p 0
x, y,z
(
)
ρ xyzt ,,,
(
) pxyzt ,,,
(
)
vxyzt ,,,
(
)
p
x yzt
p xyzt
p
ac
,,,
, ,,
() = () − 0
ρρ
ρ
ac xyzt
xyzt
,,,, ,,
(
) = (
) − 0
vxyzt ,,,
(
)
pp ac 0 ρρ ac 0
vc s
<<
O
x
vxtv xt i
,, =
(
) ()pxt ,
() ρ xt ,
()
∂
∂
+
∂ ()
∂
=
ρρ
t
v
x
0
ρ
∂
∂
+
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =−
∂
∂
v
t
v
v
x
p
x
spsp ρρ 00 ,,
(
) = ()
∂+ (
)
∂
+
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)
(
)
∂
=
ρρ
ρρ
00
0
ac
ac
t
v
x
∂
∂
+
∂
∂
=
ρ
ρ
ac
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v
x
0
0
ρρ 0
0
+
(
)
∂
∂
+
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =−
∂+ (
)
∂
ac
ac
v
t
v
v
x
pp
x
ρ 0
∂
∂
=−
∂
∂
v
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p
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spsp
p
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00
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,,
(
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+
(
) spsp
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p
p
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ρρ
ρ
ρ
ρ
00
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(
) = (
) +
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
+
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
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