Fiche 60 • Équation de d’Alembert
Or
,
Comme
et
⇒
–E n l’abscisse x = L, la corde est également fixée. Donc
pour tout temps t.
Or
Comme
et
⇒
Le module k du vecteur d’onde ne peut prendre que certaines valeurs :
:
on dit qu’il est quantifié. La quantification de k entraîne celle de la pulsation ,
avec
et celle de la longueur d’onde , avec
.
L’équation de d’Alembert admet une infinité de solutions appelées modes propres de la corde :
Æ Représentons l’onde stationnaire correspondant au mode p = 5. Alors
et
.
Cette onde stationnaire présente 5 ventres.
Deux ventres consécutifs (ou deux nœuds consécutifs) sont distants de
.
Æ La solution recherchée
est une superposition des modes propres d’oscillations de
la corde :
.
Pour déterminer les coefficients A p , considérons deux cas :
– Régime libre de la corde : par exemple, la corde est pincée en son milieu à t = 0. Les coefficients A p sont obtenus à partir de la forme
de la corde à t = 0. Le mode p = 1 est
appelé fondamental, les modes p > 1 sont appelés harmoniques.
– Régime sinusoïdal forcé : la corde est excitée sinusoïdalement en un de ces points à la pulsation ω. En régime permanent, la corde vibre à la pulsation ω. Il y a résonance quand la
pulsation ω est égale à une pulsation propre ω p de la corde ; cette résonance conduit à
une augmentation importante de l’amplitude des ventres.
Il faut donc résoudre :
L’onde stationnaire présente :
– des nœuds correspondant aux positions x où
l’amplitude de l’onde est nulle
⇒
ou
où n est égal à 1,
2, 3 ou 4.
– Des ventres correspondant aux positions x
où l’amplitude de l’onde est extrémale
⇒
ou
où m est égal à 0, 1, 2, 3 ou 4.
ψψ
ϕω
00
00
0
,c os
cos
tt
() ==
()
+
(
)
Φ
ψ 0 0
≠
cos ω t +
(
) ≠
Φ 0 0
cos ϕ 0 0
() =
ψ L , t
() = 0
ψψ
ϕω
Lt
kL
t
,c os
cos
() ==
+
(
)
+
(
)
0
00
0
Φ
ψ 0 0
≠
cos ω t +
(
) ≠
Φ 0 0
cos kL +
(
) =
ϕ 0 0
cos
cos
ϕ
ϕ
0
0
0
0
() =
+
(
) =
⎧
⎨
⎩
kL
⇔
ϕ
π
0
2
0
=
() =
⎧
⎨
⎪
⎩ ⎪ sin kL
⇔
ϕ
π
π
0
2
=
=
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎪
⎪
k
p
L
avec
entier
*
p
N
k
p L
p =
π
ω
ω
π
pp kp L
== cc
λλ p
L
p
=
2
ψψ
ππ
p xt
p
L
x
pc
L
t
,s in
cos
() =
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
00 Φ
λ 5
2
5
=
L ω 5
5
=
π c
L
λ 5
0
ventre
nœud
L
ψm
−ψm
ψ
x
sin
5
0
π
L
x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
xn
L
= 5
sin
5
1
π
L
x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =±
xm
L
=+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
25
λ 5
2
ψ xt ,
()
ψΑ ψ
xt
xt
pp
p
,,
() =
()
=
∞
∑
1
ψ x ,0
()
191
Or
,
Comme
et
⇒
–E n l’abscisse x = L, la corde est également fixée. Donc
pour tout temps t.
Or
Comme
et
⇒
Le module k du vecteur d’onde ne peut prendre que certaines valeurs :
:
on dit qu’il est quantifié. La quantification de k entraîne celle de la pulsation ,
avec
et celle de la longueur d’onde , avec
.
L’équation de d’Alembert admet une infinité de solutions appelées modes propres de la corde :
Æ Représentons l’onde stationnaire correspondant au mode p = 5. Alors
et
.
Cette onde stationnaire présente 5 ventres.
Deux ventres consécutifs (ou deux nœuds consécutifs) sont distants de
.
Æ La solution recherchée
est une superposition des modes propres d’oscillations de
la corde :
.
Pour déterminer les coefficients A p , considérons deux cas :
– Régime libre de la corde : par exemple, la corde est pincée en son milieu à t = 0. Les coefficients A p sont obtenus à partir de la forme
de la corde à t = 0. Le mode p = 1 est
appelé fondamental, les modes p > 1 sont appelés harmoniques.
– Régime sinusoïdal forcé : la corde est excitée sinusoïdalement en un de ces points à la pulsation ω. En régime permanent, la corde vibre à la pulsation ω. Il y a résonance quand la
pulsation ω est égale à une pulsation propre ω p de la corde ; cette résonance conduit à
une augmentation importante de l’amplitude des ventres.
Il faut donc résoudre :
L’onde stationnaire présente :
– des nœuds correspondant aux positions x où
l’amplitude de l’onde est nulle
⇒
ou
où n est égal à 1,
2, 3 ou 4.
– Des ventres correspondant aux positions x
où l’amplitude de l’onde est extrémale
⇒
ou
où m est égal à 0, 1, 2, 3 ou 4.
ψψ
ϕω
00
00
0
,c os
cos
tt
() ==
()
+
(
)
Φ
ψ 0 0
≠
cos ω t +
(
) ≠
Φ 0 0
cos ϕ 0 0
() =
ψ L , t
() = 0
ψψ
ϕω
Lt
kL
t
,c os
cos
() ==
+
(
)
+
(
)
0
00
0
Φ
ψ 0 0
≠
cos ω t +
(
) ≠
Φ 0 0
cos kL +
(
) =
ϕ 0 0
cos
cos
ϕ
ϕ
0
0
0
0
() =
+
(
) =
⎧
⎨
⎩
kL
⇔
ϕ
π
0
2
0
=
() =
⎧
⎨
⎪
⎩ ⎪ sin kL
⇔
ϕ
π
π
0
2
=
=
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎪
⎪
k
p
L
avec
entier
*
p
N
k
p L
p =
π
ω
ω
π
pp kp L
== cc
λλ p
L
p
=
2
ψψ
ππ
p xt
p
L
x
pc
L
t
,s in
cos
() =
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
00 Φ
λ 5
2
5
=
L ω 5
5
=
π c
L
λ 5
0
ventre
nœud
L
ψm
−ψm
ψ
x
sin
5
0
π
L
x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
xn
L
= 5
sin
5
1
π
L
x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =±
xm
L
=+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
25
λ 5
2
ψ xt ,
()
ψΑ ψ
xt
xt
pp
p
,,
() =
()
=
∞
∑
1
ψ x ,0
()
191