Fiche 60 • Équation de d’Alembert
Ordre de grandeur pour une corde métallique : T = 4 N ; µ = 10 -2 kg.m –1 ⇒ c = 20 m. s –1 .
c Considérons une corde, supposée semi infinie (suivant Ox positif), excitée sinusoïdalement
à son extrémité O (x = 0) à la pulsation ω :
.
Caractérisons l’onde se propageant sur cette corde.
La solution de l’équation de d’Alembert est :
.
Comme il n’y a pas de source d’excitation en
, la fonction g est nulle.
En utilisant la condition aux limites en x = 0,
.
Par suite, la solution est :
.
c Considérons une corde de guitare ; c’est une corde fixée à ses deux extrémités. Sa longueur est L.
Cherchons l’expression de la solution de cette équation d’onde sous la forme d’ondes stationnaires :
.
L’équation différentielle devient :
Déterminons les solutions de ces deux équations.
Afin d’éliminer les solutions divergentes, il faut choisir K<0. Ainsi,
La solution de l’équation de d’Alembert se met donc sous la forme :
Æ Cherchons les valeurs des constantes grâce aux conditions aux limites.
–E n l’abscisse x = 0, la corde est fixée. Donc
pour tout temps t.
C’est une onde progressive sinusoïdale.
L’aspect de la corde est représenté à un instant donné.
Déterminons la fréquence f d’excitation de la
corde métallique (c = 20 m. s –1 ) pour que la
longueur d’onde soit λ = 10 cm.
La relation entre f et λ est donnée par : λf = c.
⇒ f = 200 Hz
Pour que cette égalité soit respectée, il faut que les deux
membres soient égaux à une constante K.
et
avec
A et
constantes
k est le vecteur d’onde :
avec
B et
constantes
est la pulsation :
ψψ
ω
0,
cos
tt m
() =
()
ψ xt
t
x
t
x
,
( )=−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ++
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
fg
cc
x =+∞
f tt
( ) =
( )
ψω m cos
ψψωψ
ω
xt
t
x
tk x
,c os
cos
() =−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =− (
)
mm c
avec
c
k ==
ωπ
λ
2
x
ψ m
λ =2π/k
−ψm
ψ
direction de
propagation de l'onde
ψ xt
xt
,
( ) = ( ) × ( )
fg
g
f
f
g
t
x
x
t
( )
∂
∂
−( )
∂
∂
=
2
22
2
2
1
0
c
11 1
2
22
2
2
f
f
f
dépend de
dé
c g
g
x x
t t
( )
∂
∂
=
( )
∂
∂
( )
x
p p end de g t
( )
1
2
2
f
f
f
dépend de
K
x x
( )
∂
∂
=
( )
x
K
c g
g
g
dépend de
=
( )
∂
∂
( )
11
2
2
2
t t
t
⇔
∂
∂
−
( ) =
2
2
0
f
f
K
x
x
⇔
∂
∂
−
( ) =
2
2
2
0
g
g
Kc
t
t
f
A
xk x
( ) =+ (
)
cos
ϕ 0
ϕ 0
k = K
g tt
( ) =+ (
)
B cos ωΦ 0
Φ 0
ω
ω=
=
Kc
c
2
k
ψψ
ϕω
xt
xt
,c os
cos
() =+ (
)
+
(
)
00
0
k
Φ
ψ 00 , t
() =
190
Ordre de grandeur pour une corde métallique : T = 4 N ; µ = 10 -2 kg.m –1 ⇒ c = 20 m. s –1 .
c Considérons une corde, supposée semi infinie (suivant Ox positif), excitée sinusoïdalement
à son extrémité O (x = 0) à la pulsation ω :
.
Caractérisons l’onde se propageant sur cette corde.
La solution de l’équation de d’Alembert est :
.
Comme il n’y a pas de source d’excitation en
, la fonction g est nulle.
En utilisant la condition aux limites en x = 0,
.
Par suite, la solution est :
.
c Considérons une corde de guitare ; c’est une corde fixée à ses deux extrémités. Sa longueur est L.
Cherchons l’expression de la solution de cette équation d’onde sous la forme d’ondes stationnaires :
.
L’équation différentielle devient :
Déterminons les solutions de ces deux équations.
Afin d’éliminer les solutions divergentes, il faut choisir K<0. Ainsi,
La solution de l’équation de d’Alembert se met donc sous la forme :
Æ Cherchons les valeurs des constantes grâce aux conditions aux limites.
–E n l’abscisse x = 0, la corde est fixée. Donc
pour tout temps t.
C’est une onde progressive sinusoïdale.
L’aspect de la corde est représenté à un instant donné.
Déterminons la fréquence f d’excitation de la
corde métallique (c = 20 m. s –1 ) pour que la
longueur d’onde soit λ = 10 cm.
La relation entre f et λ est donnée par : λf = c.
⇒ f = 200 Hz
Pour que cette égalité soit respectée, il faut que les deux
membres soient égaux à une constante K.
et
avec
A et
constantes
k est le vecteur d’onde :
avec
B et
constantes
est la pulsation :
ψψ
ω
0,
cos
tt m
() =
()
ψ xt
t
x
t
x
,
( )=−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ++
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
fg
cc
x =+∞
f tt
( ) =
( )
ψω m cos
ψψωψ
ω
xt
t
x
tk x
,c os
cos
() =−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =− (
)
mm c
avec
c
k ==
ωπ
λ
2
x
ψ m
λ =2π/k
−ψm
ψ
direction de
propagation de l'onde
ψ xt
xt
,
( ) = ( ) × ( )
fg
g
f
f
g
t
x
x
t
( )
∂
∂
−( )
∂
∂
=
2
22
2
2
1
0
c
11 1
2
22
2
2
f
f
f
dépend de
dé
c g
g
x x
t t
( )
∂
∂
=
( )
∂
∂
( )
x
p p end de g t
( )
1
2
2
f
f
f
dépend de
K
x x
( )
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∂
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( )
x
K
c g
g
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dépend de
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∂
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( )
11
2
2
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t t
t
⇔
∂
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−
( ) =
2
2
0
f
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K
x
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2
2
2
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g
g
Kc
t
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f
A
xk x
( ) =+ (
)
cos
ϕ 0
ϕ 0
k = K
g tt
( ) =+ (
)
B cos ωΦ 0
Φ 0
ω
ω=
=
Kc
c
2
k
ψψ
ϕω
xt
xt
,c os
cos
() =+ (
)
+
(
)
00
0
k
Φ
ψ 00 , t
() =
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