Fiche 60 • Équation de d’Alembert
L’équation de d’Alembert devient :
.
Cela impose
: c’est la relation de dispersion.
3. EN PRATIQUE…
c Établissons l’équation de propagation de ces petits mouvements le long de cette corde.
Æ Système d’étude :
Æ Référentiel : terrestre supposé galiléen
Æ Bilan des forces s’appliquant au système :
–T ension de la corde placée avant l’abscisse x, notée
–T ension de la corde placée après l’abscisse x + dx, notée
–O n néglige le poids devant les tensions
–O n néglige les frottements de l’air
Æ Principe fondamental de la dynamique :
Æ Projetons cette expression vectorielle sur les axes (Ox) et (Oy) :
De plus,
⇒
L’équation devient :
: Équation de d’Alembert
La vitesse de propagation de l’onde est donc :
. Elle dépend du milieu.
De plus, l’onde se propageant sur la corde est transversale.
Considérons les petits mouvements d’une
corde, de masse linéique .
À la date t, chaque point de la corde se
déplace de sa position d’équilibre, d’une
valeur notée
. La tension de la corde
au point x et à l’instant t est notée
.
Les angles sont petits, ainsi
−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
−+
(
)
k
m
jt kx
2
2
2
0
ω ψ
ω
c
e
Φ
k
c
2
2
2
=
ω
μ
ψ xt ,
()
T( ,)
xt
T(x+dx)
T(x)
x+dx
x
x
y
0
α(x+dx,t)
ψ(x+dx,t)
α(x,t)
ψ(x,t)
petite portiond ec orde entree td de masse d
xxxx +
{
}
μ
T
xt ,
()
Td
xt +
(
)
x ,
TT
dd
xt
xx tx a
,,
() ++ (
) =μ
surO
T
Td
d
xx tx tx xt
xx t
() − ()
() ++ (
)
+
(
) =
,c os
,, cos,
αα
0 0 (
,
déplacementv ertical de la corde)
surO
T
yx t
( ) − ( ) )
( ) ++ (
)
+
(
) =
∂
∂
⎧
⎨
⎪
⎩
sin
,, sin,
αα
μ
ψ
xt
xx tx xt
x
t
Td
dd
2
2
⎪ ⎪
cos,
,
sin
,,
α
αα
α
≈⇒ () =+ (
) =
≈⇒ − () () +
1T
Td
T
TT
xt
xx t
xt
xt
x x xt
xx tx
t
+
(
)
+
(
) =
∂
∂
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
dd
d
,, αμ
ψ
2
2
⇔ − () ++ (
) =
∂
∂
αα
μ
ψ
xt
xx tx
t
,, Td
Td
2
2
⇔ Td
d
∂
∂
=
∂
∂
α
μ
ψ
x
xx
t
2
2
αα
ψ
≈=
∂
∂
tan
x
∂
∂
=
∂
∂
αψ
x
x
2
2
μ
ψψ
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
tx
T
⇔
∂
∂
−
∂
∂
=
2
2
2
2
0
ψμ ψ
xt T
c =
T
μ
189