60 Équation de d’Alembert
1. EN QUELQUES MOTS…
L’évolution de la grandeur caractérisant une onde vérifie une équation appelée équation de
d’Alembert liant ses variations spatiales et temporelles. Cette équation est générale.
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
a) L’équation de d’Alembert
c Considérons d’abord le cas d’une onde scalaire. Dans un repère cartésien, la grandeur
caractérisant l’onde est notée
.
L’opérateur Δ est donné par :
c Si l’onde se propage dans un milieu unidimensionnel (axe des x) ou si l’onde est une onde
plane se propageant suivant Ox, la fonction Ψ dépend de l’abscisse x et du temps t, on la
notera
.
L’équation d’onde s’écrit :
. Recherchons les solutions de cette équation.
b) Solution de l’équation de d’Alembert
Les solutions de l’équation d’onde vérifient :
c La solution générale de l’équation de d’Alembert est l’ensemble de deux ondes se propageant en sens opposé, à la même vitesse « c ». Ces ondes sont décrites pour les fonctions
« f » et « g ». La solution de l’équation s’écrit :
Les fonctions f et g sont déterminées grâce aux conditions initiales et aux conditions aux limites.
c Relation de dispersion
Cherchons des solutions sinusoïdales de la forme
. L’équation
de d’Alembert étant linéaire, la notation complexe peut être utilisée :
.
L’équation permettant de décrire le phénomène de propagation d’une onde
est appelée équation d’onde ou équation de d’Alembert ; elle a été établie
par Jean Le Rond d’Alembert en 1747. Elle relie la dépendance temporelle
à la dépendance spatiale de la fonction dans un milieu continu.
« c » est la vitesse de propagation de l’onde, en m.s . (fiche 59)
–1
Principe de superposition
Toute combinaison linéaire de solutions de l’équation est aussi
solution, car l’équation d’onde est linéaire.
Principe d’unicité
La solution unique de l’équation de d’Alembert est trouvée en
utilisant les conditions aux limites et les conditions initiales.
ψ xyzt ,,,
(
)
ψ
Δψ
ψ
−
∂
∂
=
1
0
2
2
2
ct
Δ=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
x
y
z
222
ψ xt ,
()
∂
∂
−
∂
∂
=
2
22
2
2
1
0
ψψ
xt c
ψ xt
t
x
,
( )=−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
f
c
onde se propageant dans
le sens des x x croissants
onde se propageant d
c
++
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
g t
x
a a ns
le sens desx décroissants
ψψ
ω
xt
tk x
m
,c os
() =− +
(
)
Φ
ψψ
ω
(,) xt
m
jtkx
=
−+
(
)
e
Φ
188
1. EN QUELQUES MOTS…
L’évolution de la grandeur caractérisant une onde vérifie une équation appelée équation de
d’Alembert liant ses variations spatiales et temporelles. Cette équation est générale.
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
a) L’équation de d’Alembert
c Considérons d’abord le cas d’une onde scalaire. Dans un repère cartésien, la grandeur
caractérisant l’onde est notée
.
L’opérateur Δ est donné par :
c Si l’onde se propage dans un milieu unidimensionnel (axe des x) ou si l’onde est une onde
plane se propageant suivant Ox, la fonction Ψ dépend de l’abscisse x et du temps t, on la
notera
.
L’équation d’onde s’écrit :
. Recherchons les solutions de cette équation.
b) Solution de l’équation de d’Alembert
Les solutions de l’équation d’onde vérifient :
c La solution générale de l’équation de d’Alembert est l’ensemble de deux ondes se propageant en sens opposé, à la même vitesse « c ». Ces ondes sont décrites pour les fonctions
« f » et « g ». La solution de l’équation s’écrit :
Les fonctions f et g sont déterminées grâce aux conditions initiales et aux conditions aux limites.
c Relation de dispersion
Cherchons des solutions sinusoïdales de la forme
. L’équation
de d’Alembert étant linéaire, la notation complexe peut être utilisée :
.
L’équation permettant de décrire le phénomène de propagation d’une onde
est appelée équation d’onde ou équation de d’Alembert ; elle a été établie
par Jean Le Rond d’Alembert en 1747. Elle relie la dépendance temporelle
à la dépendance spatiale de la fonction dans un milieu continu.
« c » est la vitesse de propagation de l’onde, en m.s . (fiche 59)
–1
Principe de superposition
Toute combinaison linéaire de solutions de l’équation est aussi
solution, car l’équation d’onde est linéaire.
Principe d’unicité
La solution unique de l’équation de d’Alembert est trouvée en
utilisant les conditions aux limites et les conditions initiales.
ψ xyzt ,,,
(
)
ψ
Δψ
ψ
−
∂
∂
=
1
0
2
2
2
ct
Δ=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
x
y
z
222
ψ xt ,
()
∂
∂
−
∂
∂
=
2
22
2
2
1
0
ψψ
xt c
ψ xt
t
x
,
( )=−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
f
c
onde se propageant dans
le sens des x x croissants
onde se propageant d
c
++
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
g t
x
a a ns
le sens desx décroissants
ψψ
ω
xt
tk x
m
,c os
() =− +
(
)
Φ
ψψ
ω
(,) xt
m
jtkx
=
−+
(
)
e
Φ
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