Fiche 58 • Équations de Maxwell
b) Équations de Maxwell en régime dépendant du temps
Les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère sont modifiées en régime dépendant du temps ; elles couplent le champ électrique et le champ magnétique . Les quatre
équations de Maxwell s’écrivent alors :
3. EN PRATIQUE…
Écrivons l’équation de Maxwell-Ampère pour chacune des régions de l’espace :
–S i
,
o ù C 1 e st une constante. Or,
.
–S i
,
où C 2 est une constante.
–S i
,
où C 3 est une constante.
Les constantes sont déterminées avec les conditions de continuité en r = R 1 et r = R 2 .
On obtient ainsi l’expression du champ magnétostatique en fonction de r :
Déterminons le champ magnétostatique
créé en tout point P de
l’espace par un tube conducteur creux infiniment long, parcouru par un
courant d’intensité I, avec un vecteur densité volumique de courant
uniforme et selon l’axe
du tube. On note R 1 le rayon intérieur du
tube et R 2 son rayon extérieur. Montrons que l’équation locale de
Maxwell-Ampère
permet de retrouver le résultat obtenu
précédemment par le théorème d’Ampère (fiche 53).
Nous avions montré que :
dans la base de coordonnées
cylindriques. L’expression de
dans cette base se réduit donc à :
(Annexe B).
Or la densité volumique de courant j est reliée à
l’intensité I par la relation :
.
On retrouve bien l’expression du champ magnétostatique obtenue précédemment par le théorème
d’Ampère.
E
B
div
div
rot
E
B
E
B
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
=−
∂
ρ
ε 0
0
∂
=+
∂
∂
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎪
⎪
t
Bj
E
t
rot
μ 0
B() P
j
Oz
rot
Bj =μ 0
BB ru
()
()
P = θθ
rot
B
rot
B r
rB
r
k
=
∂
∂
1 () θ
I
1
z
R 2
k
R
rR ≤ 1 j
r
rB
r
Br
C
r
=⇒
∂
∂
=⇒
=
0
1
0
1
()
()
θ
θ
BC θ () 00
0
1
=⇒
=
RrR 12 ≤≤
jj k
r
rB
r
jB rj
r C
r
=⇒
∂
∂
=⇔
=+
1
2
00
2
()
()
θ
θ
μμ
rR ≥ 2 jB r
C
r
=⇒
=
0
3
θ ()
Br R
B
j
r
R
r
u
=≤
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
2
1
1
2
0
pour
pour
μ
θ
pour
RrR
B
j
r
RRur R
12
2
2
1
2
2
0
2
≤≤
=− (
)
≥
⎧
⎨
⎪
⎪
μ
θ
⎪ ⎪ ⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
IjRR =− (
)
ππ 2
2
1
2
185
b) Équations de Maxwell en régime dépendant du temps
Les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère sont modifiées en régime dépendant du temps ; elles couplent le champ électrique et le champ magnétique . Les quatre
équations de Maxwell s’écrivent alors :
3. EN PRATIQUE…
Écrivons l’équation de Maxwell-Ampère pour chacune des régions de l’espace :
–S i
,
o ù C 1 e st une constante. Or,
.
–S i
,
où C 2 est une constante.
–S i
,
où C 3 est une constante.
Les constantes sont déterminées avec les conditions de continuité en r = R 1 et r = R 2 .
On obtient ainsi l’expression du champ magnétostatique en fonction de r :
Déterminons le champ magnétostatique
créé en tout point P de
l’espace par un tube conducteur creux infiniment long, parcouru par un
courant d’intensité I, avec un vecteur densité volumique de courant
uniforme et selon l’axe
du tube. On note R 1 le rayon intérieur du
tube et R 2 son rayon extérieur. Montrons que l’équation locale de
Maxwell-Ampère
permet de retrouver le résultat obtenu
précédemment par le théorème d’Ampère (fiche 53).
Nous avions montré que :
dans la base de coordonnées
cylindriques. L’expression de
dans cette base se réduit donc à :
(Annexe B).
Or la densité volumique de courant j est reliée à
l’intensité I par la relation :
.
On retrouve bien l’expression du champ magnétostatique obtenue précédemment par le théorème
d’Ampère.
E
B
div
div
rot
E
B
E
B
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
=−
∂
ρ
ε 0
0
∂
=+
∂
∂
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎪
⎪
t
Bj
E
t
rot
μ 0
B() P
j
Oz
rot
Bj =μ 0
BB ru
()
()
P = θθ
rot
B
rot
B r
rB
r
k
=
∂
∂
1 () θ
I
1
z
R 2
k
R
rR ≤ 1 j
r
rB
r
Br
C
r
=⇒
∂
∂
=⇒
=
0
1
0
1
()
()
θ
θ
BC θ () 00
0
1
=⇒
=
RrR 12 ≤≤
jj k
r
rB
r
jB rj
r C
r
=⇒
∂
∂
=⇔
=+
1
2
00
2
()
()
θ
θ
μμ
rR ≥ 2 jB r
C
r
=⇒
=
0
3
θ ()
Br R
B
j
r
R
r
u
=≤
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
2
1
1
2
0
pour
pour
μ
θ
pour
RrR
B
j
r
RRur R
12
2
2
1
2
2
0
2
≤≤
=− (
)
≥
⎧
⎨
⎪
⎪
μ
θ
⎪ ⎪ ⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
IjRR =− (
)
ππ 2
2
1
2
185