58 Équations de Maxwell
1. EN QUELQUES MOTS…
Les lois locales décrivant les propriétés du champ électromagnétique en tout point de l’espace sont
établies en régime permanent (indépendant du temps). Ces lois, qui constituent les équations de
Maxwell, sont obtenues à partir des équations intégrales comme le théorème de Gauss ou le théorème d’Ampère. Les équations de Maxwell générales qui permettent de décrire les phénomènes
électromagnétiques dépendant du temps, tels que l’induction, sont ensuite énoncées.
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
a) Équations de Maxwell en régime permanent
Présentons, en régime permanent, le passage des équations intégrales aux équations locales :
Forme intégrale
Relations de passage
Forme locale
Théorème de Gauss
(fiche 47)
– Théorème de GreenOstrogradski (annexe B) :
– Charge Q int contenue à
l’intérieur de la surface de
Gauss :
Équation de Maxwell-Gauss :
: champ électrostatique (V.m –1 )
ρ : densité volumique de charge (C.m –3 ).
Circulation du champ
électrostatique nulle sur
un contour fermé (C) :
(fiche 45)
Théorème de Stokes
(annexe B) :
Équation de Maxwell-Faraday :
: champ électrostatique (V.m –1 )
Théorème d’Ampère :
(fiche 53)
– Théorème de Stokes
(annexe B) :
– Courant électrique enlacé
par le contour d’Ampère (C) :
Équation de Maxwell-Ampère :
: champ magnétostatique (T)
: vecteur densité de courant électrique (A.m –2 )
Flux du champ magnétostatique nul à travers
une surface fermée S :
(fiche 56)
Théorème de Green-Ostrogradski (annexe B) :
Équation de Maxwell-Flux :
: champ magnétostatique (T)
Φ=
=
∫∫ ES Q
S
.
int
d
ES
E
S
.d
div d
∫∫
∫∫∫
=
V
V
Q int = ∫∫∫ ρ dV
V
div E
=
ρ
ε 0
E
CE l
== ∫
.
()
d
C
0
El
ES
S
..
()
dr ot d
C
∫∫ ∫
=
rot
E = 0
E
CB lI
== ∫
.
()
d
enlacé
C
Bl
BS
S
..
()
dr ot d
C
∫∫ ∫
=
Ij S
S
enlacé
d
= ∫∫
.
rot
Bj =μ 0
B
j
Φ=
=
∫∫ BS
S
.d 0
BS
B
S
.d
div d
∫∫
∫∫∫
=
V
V
div B
= 0
B
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