Fiche 57 • Inductance
De la même manière, un courant d’intensité i 2 dans le circuit (C 2 ) crée un champ magnétique
dont le flux Φ 2→1 à travers une surface s’appuyant sur le contour du circuit (C 1 ) est proportionnel à i 2 :
où M 21 est l’inductance mutuelle du circuit (C 2 ) sur le circuit (C 1 ).
Les coefficients d’induction mutuelle vérifient la relation suivante :
–M est positif ou négatif selon les sens positifs choisis sur les circuits.
–M ne dépend que de la géométrie des circuits, de leurs positions relatives et de la perméabilité du milieu (μ 0 pour le vide).
c Force électromotrice d’induction mutuelle
Æ Si le circuit (C 1 ) est parcouru par un courant d’intensité i 1 (t) variable, la f.é.m. induite
e 1→2 (t) dans le circuit (C 2 ) par le circuit (C 1 ) est donnée par :
De la même manière, un courant d’intensité i 2 (t) variable dans le circuit (C 2 ) induit une f.é.m.
e 2→1 (t) dans le circuit (C 1 ) dont l’expression est :
.
Æ F.é.m. induite totale : Considérons le circuit (C 1 ). Le flux total Φ 1 du champ magnétique à
travers le circuit (C 1 ) d’inductance propre L 1 , est la somme de son flux propre Φ P1 et du flux
Φ 2→1 induit par le circuit (C 2 ) sur le circuit (C 1 ) :
.
On en déduit la f.é.m. induite e 1 (t) dans le circuit (C 1 ) :
.
3. EN PRATIQUE…
Considérons un long solénoïde, de longueur l = 0,5 m, de rayon R 1 = 4 cm, d’axe
, comportant N = 500 spires. Ce solénoïde, parcouru par un courant i 1 , est supposé suffisamment long
pour que le champ magnétique qu’il crée soit uniforme et égal à :
à l’intérieur du solénoïde et
à l’extérieur du solénoïde.
Æ Déterminons son coefficient d’auto-inductance L.
Exprimons le flux propre
du champ magnétique à travers une surface S s’appuyant
sur chaque spire du solénoïde puis le flux propre
à travers le solénoïde :
;
ainsi,
.
Æ Une spire de rayon R 2 = 3 cm, d’axe
, parcourue par un courant i 2 , est contenue à l’intérieur du solénoïde précédent. Déterminons l’inductance mutuelle M entre les deux circuits.
Exprimons le flux Φ 1→2 du champ magnétique créé par le solénoïde à travers une surface
orientée S 2 s’appuyant sur le contour de la spire :
.
i 1 : courant électrique circulant dans le circuit (C 1 ) (A).
M 12 : inductance mutuelle du circuit (C 1 ) sur le circuit (C 2 ) (Henry, H).
Φ 1→2 : flux magnétique induit par le circuit (C 1 ) sur le circuit (C 2 ) (Wb).
i 1 (t): courant électrique dans le circuit (C 1 ) (A).
M : inductance mutuelle (H).
e 1→2 : f.é.m. induite dans le circuit (C 2 ) par le circuit (C 1 ) (V).
Φ 12
12 1
→ = M i
B 2
Φ 21
21 2
→ = M i
MMM 12
21
=≡
et
i
t
12
1
→
=−
()
M
d
d
et
i
t
21
2
→
=−
()
M
d
d
ΦΦ
Φ
11
21
11
2
=+
=+
→
P
ii
LM
et
i
t
i
t
11
12
()=−
−
L
d
d
M
d
d
Oz
B
N
l
ik
int
=μ 01
B ext
= 0
Φ Pspire
Φ P
ΦΦ P
S
P
BS BR
N
l
iRet
spire
d
==
==
∫∫
.
int πμ
π
1
2
01 1
2
N N P
Φ spire
L
mH
== μπ 0
2
1
2
31
N
l
R
,
Oz
Φ 12
12
2
2
02
2
1
2
→ ==
=⇒
∫∫ BS BR
N
l
Ri
S
.
int
d
πμ
πΜ = =
=
μπ
μ
02
2
35
N
l
R
, H
183
De la même manière, un courant d’intensité i 2 dans le circuit (C 2 ) crée un champ magnétique
dont le flux Φ 2→1 à travers une surface s’appuyant sur le contour du circuit (C 1 ) est proportionnel à i 2 :
où M 21 est l’inductance mutuelle du circuit (C 2 ) sur le circuit (C 1 ).
Les coefficients d’induction mutuelle vérifient la relation suivante :
–M est positif ou négatif selon les sens positifs choisis sur les circuits.
–M ne dépend que de la géométrie des circuits, de leurs positions relatives et de la perméabilité du milieu (μ 0 pour le vide).
c Force électromotrice d’induction mutuelle
Æ Si le circuit (C 1 ) est parcouru par un courant d’intensité i 1 (t) variable, la f.é.m. induite
e 1→2 (t) dans le circuit (C 2 ) par le circuit (C 1 ) est donnée par :
De la même manière, un courant d’intensité i 2 (t) variable dans le circuit (C 2 ) induit une f.é.m.
e 2→1 (t) dans le circuit (C 1 ) dont l’expression est :
.
Æ F.é.m. induite totale : Considérons le circuit (C 1 ). Le flux total Φ 1 du champ magnétique à
travers le circuit (C 1 ) d’inductance propre L 1 , est la somme de son flux propre Φ P1 et du flux
Φ 2→1 induit par le circuit (C 2 ) sur le circuit (C 1 ) :
.
On en déduit la f.é.m. induite e 1 (t) dans le circuit (C 1 ) :
.
3. EN PRATIQUE…
Considérons un long solénoïde, de longueur l = 0,5 m, de rayon R 1 = 4 cm, d’axe
, comportant N = 500 spires. Ce solénoïde, parcouru par un courant i 1 , est supposé suffisamment long
pour que le champ magnétique qu’il crée soit uniforme et égal à :
à l’intérieur du solénoïde et
à l’extérieur du solénoïde.
Æ Déterminons son coefficient d’auto-inductance L.
Exprimons le flux propre
du champ magnétique à travers une surface S s’appuyant
sur chaque spire du solénoïde puis le flux propre
à travers le solénoïde :
;
ainsi,
.
Æ Une spire de rayon R 2 = 3 cm, d’axe
, parcourue par un courant i 2 , est contenue à l’intérieur du solénoïde précédent. Déterminons l’inductance mutuelle M entre les deux circuits.
Exprimons le flux Φ 1→2 du champ magnétique créé par le solénoïde à travers une surface
orientée S 2 s’appuyant sur le contour de la spire :
.
i 1 : courant électrique circulant dans le circuit (C 1 ) (A).
M 12 : inductance mutuelle du circuit (C 1 ) sur le circuit (C 2 ) (Henry, H).
Φ 1→2 : flux magnétique induit par le circuit (C 1 ) sur le circuit (C 2 ) (Wb).
i 1 (t): courant électrique dans le circuit (C 1 ) (A).
M : inductance mutuelle (H).
e 1→2 : f.é.m. induite dans le circuit (C 2 ) par le circuit (C 1 ) (V).
Φ 12
12 1
→ = M i
B 2
Φ 21
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→ = M i
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