Fiche 54 • Forces magnétiques
On en déduit que
où C est une constante obtenue
avec les conditions initiales : À t = 0,
; d’où
Les équations horaires sont donc :
c Déterminons la force de Laplace agissant sur une portion de circuit électrique hémicirculaire de rayon R, parcourue par un courant I, et placée dans un champ magnétique
uniforme et constant perpendiculaire au plan du circuit.
Considérons un élément de longueur de circuit orienté dans le sens du courant I. Définissons le référentiel
et les vecteurs polaires unitaires
et .
Par symétrie, la résultante
des forces est dirigée selon le vecteur unitaire . Projetons donc
sur l’axe
:
Pour décrire l’ensemble du circuit, il faut faire varier θ entre 0 et π :
D’où la force de Laplace qui s’exerce sur ce circuit :
.
L’équation de la trajectoire est donc :
On reconnaît l’équation d’un cercle de centre C
,
avec
et
, et de rayon
.
Le mouvement est uniforme, de vitesse angulaire
.
La force de Laplace élémentaire
qui s’exerce sur
l’élément de courant
e st
. Ainsi
d’après la règle des trois doigts de la main droite, la
force élémentaire est dirigée selon le vecteur unitaire
. Exprimons
:
vv
ty
v
tC
y =⇒ =−
+
0
0
sin( )c os()
ω
ω
ω
yC
v
=⇒ =
0
0
ω
y
v
t
=−
−
(
)
0
1
ω
ω
cos( )
x
v
t
y
v
t
x
v
=
=−
−
(
)
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
=
0
0
0
1
ω
ω
ω
ω
ω
sin( )
cos( )
s i i n( )
cos( )
ω
ωω
ω
t
y
vv
t
+= −
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎪
⎪
00
0
v
B
y
x
O
0
f
i
j
C
xy
vv
2
0
2
0
2
+−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
ωω
xy CC ,
(
)
x C = 0 y
vm v
B
C
e
== 00
ω
R
vm v
B
== 00
ω
e
ω=
eB
m
F
B
dl
(;,) Oxy
u r
u θ
B
dl
x
y
θ
r
u
θ
u
R
O
i
j
dF
Il d
dd FI lB
=∧
u r
dF
dd
dd
lR u
BB k
FI RB u
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩ ⎪
⇒=
θ
θ
θ
θ
∧= kI RB u r
d θ
F
j
d F
Oy
dd
d
d
FF jI RB uu
IRB
yr y
==
=
..
sin
θθ θ
FI RB
IRBI RB
y ==
−
[
] =
∫ sin
cos
θθ
θ
π
π
d
0
0
2
FI RB j
= 2
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