Fiche 54 • Forces magnétiques
3. EN PRATIQUE…
c Un électron de charge
pénètre avec une vitesse initiale à l’instant
t = 0 dans une zone où règne un champ magnétique uniforme et constant. On définit un
référentiel orthonormé direct
d’origine O, muni d’une base
, tel qu’à
l’instant t = 0, l’électron est en O avec une vitesse
, le champ magnétique étant
selon l’axe
:
avec B > 0. Étudions le mouvement de l’électron.
La force de Lorentz étant par définition orthogonale au champ magnétique , la relation précédente montre que l’accélération l’est aussi.
La composante selon de l’accélération est donc nulle :
.
Or
à tout instant : le mouvement de l’électron s’effectue
dans le plan
.
Æ Projetons la relation fondamentale de la dynamique sur les axes
et
:
Où le coefficient
est appelé pulsation cyclotron.
Intégrons l’équation (2) :
; or à t = 0,
.
Substituons cette équation dans l’équation (1) :
: on obtient une équation différentielle du 2 nd ordre dont la
solution est :
A 1 et A 2 sont des constantes obtenues avec les conditions initiales :
À t = 0,
.
L’électron est soumis à la force de Lorentz
.
À l’instant t = 0, la force de Lorentz
s’écrit :
.
La charge q étant négative,
est dirigée dans le sens du vecteur
unitaire .
Le poids de l’électron étant négligeable devant la force de
Lorentz, la relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
.
q =− =−
−
eC 1610
19
,.
v 0
B
(;,,) Oxyz
(, ,)
ijk
vv i
00
=
O z
BB k
=
0
v
B
y
x
O
0
f
i
j
fq vB
=∧
f 0
fq vB qv Bi kq vBj
00
00
=∧ =∧ =−
f 0
j
fm aq vBm
v
t
=⇔
∧=
d
d
B
k
d
d
cte
v
t
v
z
z
=⇒
=
0
vt
v
zz
0
00
0
== ⇒=
à l'instant
(;,) O xy
O x
O y
qBvm
v
t
Bv
m
v
t
v
t
v
q
y
x
y
xx
y
=⇔ −=
⇔= −
−
d
d
e
d
d
d
d
ω
() 1
B B vm
v
t
Bv
m
v
t
v
t
v
x
y
x
yy
x
=⇔
=⇔
=
⎧
⎨
⎪
d
d
e
d
d
d
d
ω
() 2
⎪ ⎪
⎩
⎪
⎪
ω=
eB
m
vx A
y =+ ω
v
x
vx
y
y
=
=
⎧
⎨
⎩
⇒=
0
0
ω
d
d
d
d
v
t
x
x
t
x
x =−
⇔= −
ωω
2
2
2
2
xA
tA
t
=+ 12 cos( )s in()
ωω
vv
x
A
v
A
x
v
t
x =
=
⎧
⎨
⎩
⇒
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩ ⎪
⇒=
0
2
0
1
0
0
0
ω
ω
ω
sin( )
176