Fiche 53 • Théorème d’Ampère
Compte tenu de la symétrie cylindrique de la distribution de courant, utilisons les coordonnées cylindriques (r, θ, z), l’axe
étant l’axe du solénoïde.
Æ 1 re étape : Examinons les propriétés de symétrie de la distribution de courants :
Les plans normaux à l’axe
du solénoïde sont des plans de symétrie, donc
est perpendiculaire à ces plans :
.
La distribution de courant est invariante :
–p ar translation le long de l’axe
:
ne dépend pas de la coordonnée z.
–p ar rotation autour de l’axe
:
ne dépend pas de la coordonnée θ.
Ainsi,
Æ 2 e étape : Choisissons un contour d’Ampère adapté aux symétries de la distribution de courants. Le champ magnétique ne dépend que de la coordonnée d’espace r et est colinéaire à
l’axe
; choisissons un contour orienté rectangulaire ABCD dont deux des côtés sont parallèles au champ, le côté AB étant sur l’axe
.
Æ 3 e étape : Exprimons la circulation du champ magnétique sur ce contour :
où B axe est le champ magnétostatique sur l’axe
du solénoïde (r = 0) calculé dans la fiche 52
relative à la loi de Biot et Savart :
. La contribution des côtés BC et DA s’annule
car la distribution de est la même sur les deux côtés qui sont parcourus en sens inverse.
Æ 4 e étape : Examinons le courant enlacé par le contour d’Ampère. Deux cas se distinguent :
– Si le contour rectangulaire est entièrement à l’intérieur du solénoïde (contour
A 1 B 1 C 1 D 1 ), alors
. Ainsi
pour
: le champ est uniforme à l’intérieur du solénoïde.
– Si le contour rectangulaire traverse le solénoïde (contour A 2 B 2 C 2 D 2 ), alors
où
représente le nombre de spires sur la longueur
. Ainsi
. Or
pour
.
Finalement :
Le champ magnétostatique présente donc une discontinuité à la traversée de la surface du
solénoïde qui peut être assimilé à une distribution surfacique de courant.
Oz
Oz
B() P
BB rz k
z
()
(, ,)
P =θ
Oz
B() P
Oz
B() P
BB rk
z
()
()
P =
Oz
Oz
A 1 B 1
C 1
D 1
A 2 B 2
C 2
D 2
k
z
CB lB rk lk
Br k
zz
==
=+
∫∫
.( ).
() .
()
d
d
A
B
C
C
0
D D
axea xe
d
AB
CD
AB
∫
=−
=−
lk
BB rB
Br
zz
()
() )
(
)
Oz
Bn I
a x e =μ 0
B
I enlacé = 0
Br
Bn I
z ()== axe μ 0
rR <
In
I
enlacé
22
AB
=μ 0
n AB 22
AB 22
CB
Br
nI
z
=− (
) =
AB
AB
22
axe2 2
() μ 0
Bn I
axe =μ 0
⇒ Br z ()=0
rR >
Bn Ik
B
=
=
μ 0
0
à l’intérieur du solénoïde
à l l’extérieur du solénoïde
⎧
⎨
⎪
⎩ ⎪
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Compte tenu de la symétrie cylindrique de la distribution de courant, utilisons les coordonnées cylindriques (r, θ, z), l’axe
étant l’axe du solénoïde.
Æ 1 re étape : Examinons les propriétés de symétrie de la distribution de courants :
Les plans normaux à l’axe
du solénoïde sont des plans de symétrie, donc
est perpendiculaire à ces plans :
.
La distribution de courant est invariante :
–p ar translation le long de l’axe
:
ne dépend pas de la coordonnée z.
–p ar rotation autour de l’axe
:
ne dépend pas de la coordonnée θ.
Ainsi,
Æ 2 e étape : Choisissons un contour d’Ampère adapté aux symétries de la distribution de courants. Le champ magnétique ne dépend que de la coordonnée d’espace r et est colinéaire à
l’axe
; choisissons un contour orienté rectangulaire ABCD dont deux des côtés sont parallèles au champ, le côté AB étant sur l’axe
.
Æ 3 e étape : Exprimons la circulation du champ magnétique sur ce contour :
où B axe est le champ magnétostatique sur l’axe
du solénoïde (r = 0) calculé dans la fiche 52
relative à la loi de Biot et Savart :
. La contribution des côtés BC et DA s’annule
car la distribution de est la même sur les deux côtés qui sont parcourus en sens inverse.
Æ 4 e étape : Examinons le courant enlacé par le contour d’Ampère. Deux cas se distinguent :
– Si le contour rectangulaire est entièrement à l’intérieur du solénoïde (contour
A 1 B 1 C 1 D 1 ), alors
. Ainsi
pour
: le champ est uniforme à l’intérieur du solénoïde.
– Si le contour rectangulaire traverse le solénoïde (contour A 2 B 2 C 2 D 2 ), alors
où
représente le nombre de spires sur la longueur
. Ainsi
. Or
pour
.
Finalement :
Le champ magnétostatique présente donc une discontinuité à la traversée de la surface du
solénoïde qui peut être assimilé à une distribution surfacique de courant.
Oz
Oz
B() P
BB rz k
z
()
(, ,)
P =θ
Oz
B() P
Oz
B() P
BB rk
z
()
()
P =
Oz
Oz
A 1 B 1
C 1
D 1
A 2 B 2
C 2
D 2
k
z
CB lB rk lk
Br k
zz
==
=+
∫∫
.( ).
() .
()
d
d
A
B
C
C
0
D D
axea xe
d
AB
CD
AB
∫
=−
=−
lk
BB rB
Br
zz
()
() )
(
)
Oz
Bn I
a x e =μ 0
B
I enlacé = 0
Br
Bn I
z ()== axe μ 0
rR <
In
I
enlacé
22
AB
=μ 0
n AB 22
AB 22
CB
Br
nI
z
=− (
) =
AB
AB
22
axe2 2
() μ 0
Bn I
axe =μ 0
⇒ Br z ()=0
rR >
Bn Ik
B
=
=
μ 0
0
à l’intérieur du solénoïde
à l l’extérieur du solénoïde
⎧
⎨
⎪
⎩ ⎪
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