Fiche 53 • Théorème d’Ampère
c) Théorème d’Ampère
Considérons un ensemble de fils parcourus par des courants d’intensité I 1 , I 2 , …, I n et une
courbe fermée orientée quelconque (C) enlaçant certains de ces courants. Soit un vecteur
unitaire normal à une surface S s’appuyant sur (C) et orienté selon la règle du tire-bouchon :
un tire-bouchon tournant dans le sens choisi pour (C) traverse la surface S dans le sens de .
La géométrie du contour (C) est choisie de telle manière que le champ magnétique soit uniforme sur le contour. Il faut donc d’abord examiner les symétries de la distribution et en
déduire la direction du champ et les variables d’espace dont il dépend.
3. EN PRATIQUE…
c Déterminons le champ magnétostatique créé par un tube conducteur creux infiniment long,
de rayon intérieur R 1 et de rayon extérieur R 2 , parcouru par un courant d’intensité I avec
un vecteur densité volumique de courant uniforme. Déterminons le champ magnétique
créé en tout point P de l’espace.
I enlacé : intensité du courant électrique enlacé par le contour (C),
comptée algébriquement.
Ainsi,
où :
si I i traverse la surface S dans le sens de
si I i traverse la surface S dans le sens de
Sur le schéma ci-contre, on a par exemple :
Compte tenu de la symétrie cylindrique de la distribution de courant, utilisons les coordonnées cylindriques (r, θ, z), l’axe
étant l’axe du tube.
Æ 1 re étape : Examinons les propriétés de symétrie de la distribution de
courants :
Les plans contenant l’axe
sont des plans de symétrie. Au point P,
est perpendiculaire au plan contenant P et l’axe
:
La distribution de courant est invariante :
– par translation le long de l’axe
:
ne dépend pas de la coordonnée z.
– par rotation autour de l’axe
:
ne dépend pas de la coordonnée θ.
On a donc :
.
n
n
CB lI
== ∫
.
()
d
enlacé
C
μ 0
II i
i
i
enlacé = ∑ ε
ε i = 1
n
ε i =−1
−
n
n
I 1
I 3 I 4 I 5 I 6
(C)
S
I 2
II
III
enlacé =+−+ 2345
j
B () P
O z
Oz
B() P
Oz
BB rz u
()
(, ,)
P = θθ θ
Oz
B() P
Oz
B() P
BB ru
()
()
P = θθ
I
r
1
z
R 2 ( C )
r
u
θ
u
k
R
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c) Théorème d’Ampère
Considérons un ensemble de fils parcourus par des courants d’intensité I 1 , I 2 , …, I n et une
courbe fermée orientée quelconque (C) enlaçant certains de ces courants. Soit un vecteur
unitaire normal à une surface S s’appuyant sur (C) et orienté selon la règle du tire-bouchon :
un tire-bouchon tournant dans le sens choisi pour (C) traverse la surface S dans le sens de .
La géométrie du contour (C) est choisie de telle manière que le champ magnétique soit uniforme sur le contour. Il faut donc d’abord examiner les symétries de la distribution et en
déduire la direction du champ et les variables d’espace dont il dépend.
3. EN PRATIQUE…
c Déterminons le champ magnétostatique créé par un tube conducteur creux infiniment long,
de rayon intérieur R 1 et de rayon extérieur R 2 , parcouru par un courant d’intensité I avec
un vecteur densité volumique de courant uniforme. Déterminons le champ magnétique
créé en tout point P de l’espace.
I enlacé : intensité du courant électrique enlacé par le contour (C),
comptée algébriquement.
Ainsi,
où :
si I i traverse la surface S dans le sens de
si I i traverse la surface S dans le sens de
Sur le schéma ci-contre, on a par exemple :
Compte tenu de la symétrie cylindrique de la distribution de courant, utilisons les coordonnées cylindriques (r, θ, z), l’axe
étant l’axe du tube.
Æ 1 re étape : Examinons les propriétés de symétrie de la distribution de
courants :
Les plans contenant l’axe
sont des plans de symétrie. Au point P,
est perpendiculaire au plan contenant P et l’axe
:
La distribution de courant est invariante :
– par translation le long de l’axe
:
ne dépend pas de la coordonnée z.
– par rotation autour de l’axe
:
ne dépend pas de la coordonnée θ.
On a donc :
.
n
n
CB lI
== ∫
.
()
d
enlacé
C
μ 0
II i
i
i
enlacé = ∑ ε
ε i = 1
n
ε i =−1
−
n
n
I 1
I 3 I 4 I 5 I 6
(C)
S
I 2
II
III
enlacé =+−+ 2345
j
B () P
O z
Oz
B() P
Oz
BB rz u
()
(, ,)
P = θθ θ
Oz
B() P
Oz
B() P
BB ru
()
()
P = θθ
I
r
1
z
R 2 ( C )
r
u
θ
u
k
R
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