Fiche 49 • Condensateurs
3. EN PRATIQUE
Cherchons à déterminer la capacité C d’un condensateur plan de surface S. La distance entre
les deux armatures est notée d et le vide est établi entre elles. Le potentiel de l’armature chargée +Q est V 1 , et celui de l’armature chargée –Q est V 2 . Il existe entre les deux armatures un
champ électrostatique, , dirigé dans le sens des potentiels décroissants () . Pour calculer le champ électrostatique on peut utiliser le théorème de Gauss. On choisit alors une surface de Gauss parallélépipédique liée à la géométrie du problème, notée . La surface de
Gauss est composée de six faces, notées : , , , ,
et .
Le théorème de Gauss s’écrit :
, où Q est la charge intérieure contenue dans S.
Le flux de à travers les faces , , et
est nul car
(avec
[1,4]). Il est également nul à travers
car est à l’intérieur du conducteur et
.
Le flux du champ électrostatique à travers
s’écrit :
, car
.
La norme du champ électrostatique est alors :
car le flux de à travers
est équivalent au flux de à travers S.
À partir de la circulation du champ entre les deux armatures, on détermine la différence de
potentiel
aux bornes du condensateur :
et
sont colinéaires entre les 2 armatures, donc :
.
(1)
En parallèle :
C eq : Capacité équivalente (F)
C i : ième capacité (F)
La neutralité électrique impose que la charge est
la même pour tous les condensateurs.
Or, on sait que la capacité d’un condensateur, quelle que soit sa géométrie, est de
la forme :
.
Par conséquent d’après (1), on obtient :
.
La capacité d’un condensateur plan
dépend uniquement de la surface des
armatures et de la distance entre elles.
Q
+
Q
−
Q
+
Q
−
Q
+
Q
−
1
C
2
C
n
C
CC eq
i
i
n
=
=
∑
1
E
VV 12 →
S
S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6
φ == ∫∫
ES
Q
S
.d
0
ε
E
S 1 S 2 S 3 S 4
ES i
⊥ d
i ∈
S 5
S 5
E int = 0
S 6
φ =× =
ES
Q
6
ε 0
ES d 6
E
Q
S
Q
S
==
εε 00 6
E
S 6
E
E
VV 12 −
d VE l
=
d
−
.
E d
l
d VE l
V
Vd
1
2
0
∫∫ −
=
d
d VE l
V
Vd
1
2
0
∫∫ −
=
d ⇒− VV
Qd
S
12 =
0
ε
d
() S
0
int
=
E
E
+
+
-
-
-
+
1
V
2
V
1
S
2
S
3
S
4
S
5
S
6
S
C = −
Q
VV 12
C
0
=
ε S
d
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3. EN PRATIQUE
Cherchons à déterminer la capacité C d’un condensateur plan de surface S. La distance entre
les deux armatures est notée d et le vide est établi entre elles. Le potentiel de l’armature chargée +Q est V 1 , et celui de l’armature chargée –Q est V 2 . Il existe entre les deux armatures un
champ électrostatique, , dirigé dans le sens des potentiels décroissants () . Pour calculer le champ électrostatique on peut utiliser le théorème de Gauss. On choisit alors une surface de Gauss parallélépipédique liée à la géométrie du problème, notée . La surface de
Gauss est composée de six faces, notées : , , , ,
et .
Le théorème de Gauss s’écrit :
, où Q est la charge intérieure contenue dans S.
Le flux de à travers les faces , , et
est nul car
(avec
[1,4]). Il est également nul à travers
car est à l’intérieur du conducteur et
.
Le flux du champ électrostatique à travers
s’écrit :
, car
.
La norme du champ électrostatique est alors :
car le flux de à travers
est équivalent au flux de à travers S.
À partir de la circulation du champ entre les deux armatures, on détermine la différence de
potentiel
aux bornes du condensateur :
et
sont colinéaires entre les 2 armatures, donc :
.
(1)
En parallèle :
C eq : Capacité équivalente (F)
C i : ième capacité (F)
La neutralité électrique impose que la charge est
la même pour tous les condensateurs.
Or, on sait que la capacité d’un condensateur, quelle que soit sa géométrie, est de
la forme :
.
Par conséquent d’après (1), on obtient :
.
La capacité d’un condensateur plan
dépend uniquement de la surface des
armatures et de la distance entre elles.
Q
+
Q
−
Q
+
Q
−
Q
+
Q
−
1
C
2
C
n
C
CC eq
i
i
n
=
=
∑
1
E
VV 12 →
S
S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6
φ == ∫∫
ES
Q
S
.d
0
ε
E
S 1 S 2 S 3 S 4
ES i
⊥ d
i ∈
S 5
S 5
E int = 0
S 6
φ =× =
ES
Q
6
ε 0
ES d 6
E
Q
S
Q
S
==
εε 00 6
E
S 6
E
E
VV 12 −
d VE l
=
d
−
.
E d
l
d VE l
V
Vd
1
2
0
∫∫ −
=
d
d VE l
V
Vd
1
2
0
∫∫ −
=
d ⇒− VV
Qd
S
12 =
0
ε
d
() S
0
int
=
E
E
+
+
-
-
-
+
1
V
2
V
1
S
2
S
3
S
4
S
5
S
6
S
C = −
Q
VV 12
C
0
=
ε S
d
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