Fiche 47 • Théorème de Gauss
c) Théorème de Gauss
Le théorème de Gauss permet d’écrire que le flux du champ électrique à travers une surface S
fermée, appelée surface de Gauss, est égal à la somme des charges intérieures au volume délimité par S divisée par , d’où :
3. EN PRATIQUE…
Le flux total du champ électrostatique créé par le fil à travers S est la somme de trois contributions : le flux à travers la surface latérale S 1 , et les flux à travers les deux surfaces S 2
et S 3 . On obtient alors :
.
Le champ électrostatique étant radial (orienté suivant le rayon du cylindre), le flux de à
travers les surfaces S 2 et S 3 est nul :
et
, car
et
(où
et
sont les vecteurs surfaces élémentaires sur les faces S 2 et S 3 ).
Le vecteur surface élémentaire
sur la surface S 1 , orientée vers l’extérieur de la surface,
est un vecteur radial, donc :
, d’où le flux sur la paroi latérale :
car E uniforme sur S 1 , d’où :
.
La charge intérieure au volume du cylindre est :
.
D’après le théorème de Gauss on a alors :
.
La norme du champ électrostatique pour un fil rectiligne de longueur l portant une densité
linéique de charge uniforme est donc :
.
: flux du champ électrostatique (V.m)
: champ électrostatique (V.m –1 )
: vecteur surface élémentaire
: charge totale contenue dans le volume délimité par la
surface de Gauss S considérée (C)
: permittivité électrique du vide (F.m –1 )
Reprenons l’exemple précédent d’un fil rectiligne de longueur l portant une densité linéique
de charge uniforme telle que :
. On cherche à déterminer le champ électrostatique créé
par le fil à la distance r. Pour des raisons de
symétrie on choisit comme surface de Gauss la
surface S d’un cylindre de rayon r et de longueur l.
ε 0
φ == ∫∫
ES
Q
S
.
int
d
0
ε
φ
E
d
S
Q
int
ε 0
l
r
0
λ >
(S1)
fil
surface du cylindre
perpendiculaire au
fil
surface latérale
du cylindre
2
dS
3
dS
(S2)( S 3 )
λ > 0
φ 1
φ 2 φ 3
φ φφ φ
=++=
++
∫∫
∫∫
123123
12
3
ES
ES
ES
SS
S
..
.
dd
d
∫ ∫ ∫
E
φ 2 0
=
φ 3 0
=
ES ⊥ d 2
ES ⊥ d 3
d
S 2 d
S 3
d
S 1
ES d 1
φ 1
φφ ==
=×
=
∫∫
∫∫
∫∫
11
11
11
1
ES
ESES
.d
dd
SS
S
φφ
π
==
=
11
2
ES
Er l
Ql
ll
int
=== ∫∫ λλ
λ
dd
Er ll
2 π
λ
= ε 0
E
r
=
λ
π
2 ε 0
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c) Théorème de Gauss
Le théorème de Gauss permet d’écrire que le flux du champ électrique à travers une surface S
fermée, appelée surface de Gauss, est égal à la somme des charges intérieures au volume délimité par S divisée par , d’où :
3. EN PRATIQUE…
Le flux total du champ électrostatique créé par le fil à travers S est la somme de trois contributions : le flux à travers la surface latérale S 1 , et les flux à travers les deux surfaces S 2
et S 3 . On obtient alors :
.
Le champ électrostatique étant radial (orienté suivant le rayon du cylindre), le flux de à
travers les surfaces S 2 et S 3 est nul :
et
, car
et
(où
et
sont les vecteurs surfaces élémentaires sur les faces S 2 et S 3 ).
Le vecteur surface élémentaire
sur la surface S 1 , orientée vers l’extérieur de la surface,
est un vecteur radial, donc :
, d’où le flux sur la paroi latérale :
car E uniforme sur S 1 , d’où :
.
La charge intérieure au volume du cylindre est :
.
D’après le théorème de Gauss on a alors :
.
La norme du champ électrostatique pour un fil rectiligne de longueur l portant une densité
linéique de charge uniforme est donc :
.
: flux du champ électrostatique (V.m)
: champ électrostatique (V.m –1 )
: vecteur surface élémentaire
: charge totale contenue dans le volume délimité par la
surface de Gauss S considérée (C)
: permittivité électrique du vide (F.m –1 )
Reprenons l’exemple précédent d’un fil rectiligne de longueur l portant une densité linéique
de charge uniforme telle que :
. On cherche à déterminer le champ électrostatique créé
par le fil à la distance r. Pour des raisons de
symétrie on choisit comme surface de Gauss la
surface S d’un cylindre de rayon r et de longueur l.
ε 0
φ == ∫∫
ES
Q
S
.
int
d
0
ε
φ
E
d
S
Q
int
ε 0
l
r
0
λ >
(S1)
fil
surface du cylindre
perpendiculaire au
fil
surface latérale
du cylindre
2
dS
3
dS
(S2)( S 3 )
λ > 0
φ 1
φ 2 φ 3
φ φφ φ
=++=
++
∫∫
∫∫
123123
12
3
ES
ES
ES
SS
S
..
.
dd
d
∫ ∫ ∫
E
φ 2 0
=
φ 3 0
=
ES ⊥ d 2
ES ⊥ d 3
d
S 2 d
S 3
d
S 1
ES d 1
φ 1
φφ ==
=×
=
∫∫
∫∫
∫∫
11
11
11
1
ES
ESES
.d
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SS
S
φφ
π
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=
11
2
ES
Er l
Ql
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=== ∫∫ λλ
λ
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2 π
λ
= ε 0
E
r
=
λ
π
2 ε 0
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