47 Théorème de Gauss
1. EN QUELQUES MOTS…
Le théorème de Gauss est un outil puissant qui permet de calculer facilement le champ électrostatique créé par une distribution de charges. En pratique, le théorème de Gauss s’applique essentiellement lorsque les charges sont réparties régulièrement sur un plan, ou dans
l’espace avec une symétrie sphérique autour d’un point fixe, ou une symétrie cylindrique
autour d’un axe de révolution.
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
a) Orientation d’une surface
Une surface est dite ouverte lorsqu’elle s’appuie sur un contour fermé. Une surface fermée
est formée de 2 surfaces ouvertes s’appuyant sur le même contour fermé.
Dans le cas d’une surface fermée, par convention, la normale positive est toujours dirigée de
l’intérieur de la surface vers l’extérieur de la surface.
b) Flux du champ électrostatique
Le flux électrostatique élémentaire, noté
, du vecteur champ électrostatique , à travers
un élément de surface
, est le scalaire, tel que :
, ou
.
Le flux du vecteur champ électrostatique , à travers une surface finie S est alors :
Considérons une surface ouverte Σ, s’appuyant sur un contour
fermé Γ, orienté. Soit le vecteur unitaire tangent au contour
Γ, en un point P. Soit
le vecteur unitaire orthogonal à ,
situé dans le plan tangent en P à Σ. Par convention, le sens de la
normale positive, , en P à Σ est donné par :
.
Si la surface est ouverte, il est possible de passer d’une face à l’autre sans traverser la
surface. En revanche, si la surface est fermée, elle sépare l’espace en deux zones correspondant aux deux faces, intérieur et extérieur, et il faut traverser la surface pour passer
d’une zone à l’autre.
: flux du champ électrostatique (V.m)
: champ électrostatique (V.m –1 )
: surface élémentaire à travers laquelle on calcule le flux de (m 2 )
*
T
T
n
P
Σ
Γ
T
T
*
T
n
nTT =∧
*
d φ
E
d
Sdd
Sn S
=
(
)
dd φ =
ES .
dd
d
φ =
( )
ES
ES
.c os ,
E
φ = ∫∫
ES
S
.d
φ
E
d
S
E
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