Fiche 45 • Potentiel électrostatique
Cette relation est fondamentale car elle relie le potentiel électrostatique au champ électrostatique. Elle permet de déterminer le champ électrostatique connaissant l’expression du potentiel ou le potentiel électrostatique connaissant l’expression du champ électrostatique :
e) Notion de circulation
Par définition la circulation élémentaire du champ électrostatique, , le long d’une courbe
(C), d’extrémités A et B, s’écrit :
, où
est le vecteur déplacement élémentaire
de le long de (C).
En utilisant le fait que :
alors la circulation élémentaire du champ électrostatique, , le long de la courbe (C) s’écrit :
.
La circulation totale de le long de (C) entre A et B est donnée par :
.
Le champ électrostatique dérive donc d’un potentiel scalaire V, ce qui implique :
Pour calculer le champ électrostatique à partir du potentiel électrostatique ou vice versa, on
peut alors utiliser indifféremment l’expression de la circulation de :
ou le fait
que le champ électrostatique dérive d’un potentiel scalaire :
, car les deux relations
sont strictement équivalentes :
.
f) Surfaces équipotentielles et lignes de champ
c Surfaces équipotentielles
Les surfaces équipotentielles sont constituées par l’ensemble des points ayant la même valeur
de potentiel. Par définition, une surface équipotentielle est représentée par l’équation :
.
: potentiel électrostatique (V)
: champ électrostatique (V.m –1 )
: déplacement élémentaire (m)
La circulation de le long de la courbe (C) est donc
égale à la différence de potentiel entre le point A et
le point B.
La circulation de le long de (C) est indépendante
du chemin suivi pour passer de A à B, mais dépend
uniquement de l’état initial (A) et de l’état final (B).
: champ électrostatique (V.m –1 )
: potentiel électrostatique (V)
: opérateur gradient (il transforme un champ scalaire en un champ vectoriel)
Comme le champ électrostatique
dérive d’un potentiel alors sa circulation le long
d’une courbe fermée est nulle :
.
Le champ électrostatique est toujours normal (ou perpendiculaire) aux surfaces
équipotentielles.
dVE l
=. d
−
V
E
d
l
E
d= d
AB
CE l
.
d
l
E
d VE l
=d −
.
E
d= d
AB
CE lV
. =−d
E
El VV
.d
A
B
AB
∫
=− () ()
( C )
+
+
+
+
E
A
B
l
d
E
E
E
EV =g rad
−
E
V
grad
E dVE l
=
d
−
.
EV =g rad
−
dVE lE
V
=
d
=g rad
−⇔
−
.
E
El .d =
∫
0
V x,y,z =cste
(
)⇔
El . d= 0
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Cette relation est fondamentale car elle relie le potentiel électrostatique au champ électrostatique. Elle permet de déterminer le champ électrostatique connaissant l’expression du potentiel ou le potentiel électrostatique connaissant l’expression du champ électrostatique :
e) Notion de circulation
Par définition la circulation élémentaire du champ électrostatique, , le long d’une courbe
(C), d’extrémités A et B, s’écrit :
, où
est le vecteur déplacement élémentaire
de le long de (C).
En utilisant le fait que :
alors la circulation élémentaire du champ électrostatique, , le long de la courbe (C) s’écrit :
.
La circulation totale de le long de (C) entre A et B est donnée par :
.
Le champ électrostatique dérive donc d’un potentiel scalaire V, ce qui implique :
Pour calculer le champ électrostatique à partir du potentiel électrostatique ou vice versa, on
peut alors utiliser indifféremment l’expression de la circulation de :
ou le fait
que le champ électrostatique dérive d’un potentiel scalaire :
, car les deux relations
sont strictement équivalentes :
.
f) Surfaces équipotentielles et lignes de champ
c Surfaces équipotentielles
Les surfaces équipotentielles sont constituées par l’ensemble des points ayant la même valeur
de potentiel. Par définition, une surface équipotentielle est représentée par l’équation :
.
: potentiel électrostatique (V)
: champ électrostatique (V.m –1 )
: déplacement élémentaire (m)
La circulation de le long de la courbe (C) est donc
égale à la différence de potentiel entre le point A et
le point B.
La circulation de le long de (C) est indépendante
du chemin suivi pour passer de A à B, mais dépend
uniquement de l’état initial (A) et de l’état final (B).
: champ électrostatique (V.m –1 )
: potentiel électrostatique (V)
: opérateur gradient (il transforme un champ scalaire en un champ vectoriel)
Comme le champ électrostatique
dérive d’un potentiel alors sa circulation le long
d’une courbe fermée est nulle :
.
Le champ électrostatique est toujours normal (ou perpendiculaire) aux surfaces
équipotentielles.
dVE l
=. d
−
V
E
d
l
E
d= d
AB
CE l
.
d
l
E
d VE l
=d −
.
E
d= d
AB
CE lV
. =−d
E
El VV
.d
A
B
AB
∫
=− () ()
( C )
+
+
+
+
E
A
B
l
d
E
E
E
EV =g rad
−
E
V
grad
E dVE l
=
d
−
.
EV =g rad
−
dVE lE
V
=
d
=g rad
−⇔
−
.
E
El .d =
∫
0
V x,y,z =cste
(
)⇔
El . d= 0
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