Fiche 45 • Potentiel électrostatique
En un point P de l’espace, situé à la distance r de l’élément considéré, l’expression du potentiel
électrostatique, noté
, est donné par :
d) Relation entre potentiel et champ électrostatique
Considérons le champ électrostatique
créé par une charge ponctuelle q, placée en un
point O, en un point P quelconque de l’espace à la distance r de O. La charge q est placée
dans le vide et choisie arbitrairement positive. L’expression du champ électrostatique est
donnée par :
.
Considérons à présent le déplacement élémentaire du point P suivant la direction et calculons le produit scalaire
, on obtient :
.
Calculons à présent l’expression du potentiel électrostatique créé par la charge q au point P :
.
En écrivant la différentielle de
par rapport à r on a :
.
( 2)
En identifiant les relations (1) et (2) on obtient :
.
Distribution linéique de charges Distribution surfacique de charges
Distribution volumique de charges
Densité linéique de charge : Densité surfacique de charge : Densité volumique de charge :
Expression du potentiel
électrostatique :
Expression du potentiel
électrostatique :
Expression du potentiel
électrostatique :
Le vecteur champ électrostatique étant porté par
le vecteur unitaire , seule la composante de
suivant la direction du vecteur unitaire intervient dans le calcul du produit scalaire. On note
la composante de
suivant , on a alors :
.
( 1)
V P
( )
λ =
d
d
q
l
σ =
d
d
q
S
ρ =
d
d
q
V
V
l
r
P
0
=
1
4
d
( )
( )
∫ π
λ
ε
C
V
S
r
S
P
0
=
1
4
d
()
()
∫∫ π
σ
ε
V
r
P
0
=
1
4
d
( )
( )
∫∫∫ π
ρ
ε
V
V
E P
()
E
q
r
u
P
0
() =
1
4
2
π ε
d
l
El P
() .d
El
q
r
ul
P
0
.d =d
()
1
4
2
π ε
.
q >0
P
r
u
() P
E
l
d
r
d
O
u
d
l
u
d r
d
l
u
El
q
r
ur u
P
0
.d =d
()
1
4
2
π ε
.
⇒ ()
El
q
r
r
P
0
.d =d
1
4
2
π ε
V
q
r
P
0
() =
1
4 π ε
V P
()
dd V
q
r
P
0
= 4
()
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
π ε
1
⇒− ()
d V
q
r
r
P
0
=
1
4
d
π ε
2
d VE
l
PP =. d
()
()
−
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