Fiche 44 • Champ électrostatique
Il faut donc exprimer toutes les variables du problème, c’est-à-dire r et , en fonction de α.
Æ Exprimons r en fonction de α : on a :
, d’où :
Æ Exprimons en fonction de α :
On commence par écrire l’expression de l en fonction de α, d’où :
.
Pour obtenir l’expression de en fonction de α, on écrit la différentielle de l par rapport à α
que l’on assimile au déplacement élémentaire , soit :
.
D’après (1) le champ élémentaire
s’écrit alors :
.
( 2)
Avant d’obtenir par intégration l’expression du champ résultant en P, il est nécessaire de projeter au préalable la relation (2) qui est une relation vectorielle sur les axes
et
afin
d’obtenir deux relations scalaires que l’on pourra intégrer. On remarque que pour des raisons
de symétrie, la composante du champ électrostatique total sur l’axe
est nulle.
Projetons le champ élémentaire sur l’axe
:
Intégration du champ élémentaire
sur tout le fil (c’est-à-dire pour
) :
.
Le champ total créé par un fil infini en un point P de l’espace à la distance R du fil infini est
donc :
.
On choisit un point M quelconque sur le fil
auquel correspond un élément de longueur .
Cet élément de longueur « porte » une charge
élémentaire
, telle que :
. La
charge
crée alors en P, à la distance r de ,
un champ électrostatique élémentaire tel que :
(1)
La distance R étant fixée, la valeur du champ
électrostatique dépend uniquement du paramètre angulaire a défini par
.
R
q
d
l
d
P
r
E
d
α
l
u
O
fil
infini
M
x
y
j
i
dl
dq
dd ql = λ
d q
d l
d=
1
4
d1
4
d
P
00
E
q
r
u
l
r
u
()
=
ππ
λ
εε 22
α =O P,PM
( )
d l
cos α=
R
r
r
R
= cos α
dl
lR = tan α
dl
dl
dl
R
l
=
cos
d= d
2
α
α
d P
E ()
d= 4
d
P
0
E
R
u
()
1
π
λ
ε
α
P
x
P
y
P
x
P
y ⇒ ()
d= 4
d
P
0
E
R
1
π
λ
ε
αα
cos
d P
E ()
−≤≤+
π α
π
22
E
RR
P
0
2
0
2
= 4
d
4
()
−
+
−
+
∫
=
[
]
11 22
π
λ
π
λ
α
π
π
π
π
ε
αα
ε
coss in
E
R
P
0
= 2
()
1
π
λ
ε
E
R
j
P
0
= 2
()
1
π
λ
ε
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