38 Régimes libres
du deuxième ordre
1. EN QUELQUES MOTS…
Le régime libre du second ordre est illustré par la décharge d’un condensateur dans une
inductance et une résistance. La charge du condensateur vérifie une équation différentielle
linéaire du deuxième ordre semblable à celle rencontrée en mécanique, ce qui conduit à une
analogie électromécanique.
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
a) Équation différentielle
Pour alléger la notation, la dépendance en temps est omise.
⇒
avec les conditions initiales :
L’équation différentielle vérifiée par la charge du condensateur est du deuxième ordre à coefficients constants avec un second membre nul.
b) Analogie électromécanique
Dans un circuit RLC, l’équation vérifiée par la charge q du condensateur et celle établie en
mécanique pour l’oscillateur linéaire amorti (fiche 14) sont semblables. Il est possible d’établir une analogie entre les grandeurs utilisées.
Considérons un circuit comprenant un condensateur, une inductance
et une résistance en série. Initialement, le condensateur est chargé
(charge q 0 ).
Pour étudier la décharge du condensateur, utilisons la loi d’additivité des tensions
. À partir de la loi d’Ohm
et de la relation liant la tension aux bornes de l’inductance et l’intensité du courant, cette relation devient :
.
Grandeurs électriques
Grandeurs mécaniques
Équation différentielle vérifiée par q :
Équation différentielle vérifiée par x :
Conditions initiales
Conditions initiales
Charge du condensateur
q en C
Élongation de la masse
x en m
Intensité du courant
en A
Vitesse de la masse
en m.s –1
Inductance propre
L en H
Masse
m en kg
ut ut ut
CRL ()+ ()+ ()=0
ui
i
t
C RL
d
d
++
= 0
L
R
u L
u R
u C
i
i
q
t
q= u
=
d
d
et
C C
L
d
d
R
d
dC
2
2
0
q
t
q
t
q
++ =
qt
q
it
=
(
) =
=
(
) =
⎧
⎨
⎩
0
00
0
L
d
d
R
d
dC
2
2
1
0
q
t
q
t
++
=
q
m
x
t
f
x
t
x
d
d
d
d
2
2
0
++ =
k
qt
q
it
=
(
) =
=
(
) =
{
0
00
0
xt
x
vt
=
(
) =
=
(
) =
{
0
00
0
i
q
t
=
d
d
x
x
t
=
d
d
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