Fiche 37 • Régimes libres du premier ordre
– Cherchons la solution particulière
de la même forme que l’excitation
En reportant dans l’équation différentielle :
.
La solution de l’équation est donc :
.
Le condensateur est déchargé à t = 0 ⇒ La condition initiale est :
.
• Les principaux résultats pour un circuit RC sont regroupés dans ce tableau, aussi bien concernant la charge que la décharge du condensateur.
La solution de l’équation différentielle s’écrit :
avec
.
La tension aux bornes du condensateur est continue.
• L’expression de l’intensité du courant dans le circuit peut se déterminer à partir de
:
avec
L’intensité du courant traversant le condensateur est discontinue.
• Le condensateur emmagasine de l’énergie électrique au cours du temps. L’énergie emmagasinée
sous forme électrique, notée E él en Joule (J), s’écrit :
Charge du condensateur
Décharge du condensateur
Schéma
et mise en
équation
Équation
différentielle
Équation du 1 er ordre à coefficients constants avec second membre non nul
Équation du 1 er ordre à coefficients constants avec second membre nul
ut c2 ()
utU c2 ()=
d
dR CR C
RC
RC
U
t
U
E
U
E
U E
+=
⇔=
⇒=
11
ut
BE
t
C ()=+
−
e RC
1
ut =0
C (
) = 0 ⇔ ut =0 BE
C (
) =+= 0 ⇔ B= E
−
t (s)
uC (t) (V)
E
0
ut
EE
t
C ()=−
+
−
e RC
1
⇔ ut
E
t
C ( ) =−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
1e RC
ut =0
ut =0
-
+
C
C
( ) =
( ) =
⎧
⎨
⎪
⎩ ⎪
0
0
ut C ()
t (s)
i(t) (A)
E/R
0
it
qt
t
ut
t
()=
() =
()
d
d
C
d
d
C
⇔ it
E
t
()=
−
R
e RC
it=0
it=0
E
-
+
( ) =
( ) =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
0
R
EP tt
ut
ui
u
t
u
2
él
él
C
C
C
C
==
==
⎛
⎝ ⎜
⎞
∫∫
∫
dd
d
C
dC
00
0
1
2
tt
t
d
d
⎠ ⎠ ⎟
=
∫ d
C
d
t
u
t
0
2
1
2
t
C
u R
u C
E
i
+
ut +u t- E=
CR ()
()
0
⇔
u
u
t
E
C
C
+= RC
d
d
i
+
uR
uC
ut +u t=
CR ()
() 0
⇔
u
u
t
C
C
+= RC
d
d
0
d
dR CR C
u
c
t
t
u
c
t
E
() +
()=
1
d
dR C
ut
t
ut
C
C
() +
()=
1
0
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– Cherchons la solution particulière
de la même forme que l’excitation
En reportant dans l’équation différentielle :
.
La solution de l’équation est donc :
.
Le condensateur est déchargé à t = 0 ⇒ La condition initiale est :
.
• Les principaux résultats pour un circuit RC sont regroupés dans ce tableau, aussi bien concernant la charge que la décharge du condensateur.
La solution de l’équation différentielle s’écrit :
avec
.
La tension aux bornes du condensateur est continue.
• L’expression de l’intensité du courant dans le circuit peut se déterminer à partir de
:
avec
L’intensité du courant traversant le condensateur est discontinue.
• Le condensateur emmagasine de l’énergie électrique au cours du temps. L’énergie emmagasinée
sous forme électrique, notée E él en Joule (J), s’écrit :
Charge du condensateur
Décharge du condensateur
Schéma
et mise en
équation
Équation
différentielle
Équation du 1 er ordre à coefficients constants avec second membre non nul
Équation du 1 er ordre à coefficients constants avec second membre nul
ut c2 ()
utU c2 ()=
d
dR CR C
RC
RC
U
t
U
E
U
E
U E
+=
⇔=
⇒=
11
ut
BE
t
C ()=+
−
e RC
1
ut =0
C (
) = 0 ⇔ ut =0 BE
C (
) =+= 0 ⇔ B= E
−
t (s)
uC (t) (V)
E
0
ut
EE
t
C ()=−
+
−
e RC
1
⇔ ut
E
t
C ( ) =−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
1e RC
ut =0
ut =0
-
+
C
C
( ) =
( ) =
⎧
⎨
⎪
⎩ ⎪
0
0
ut C ()
t (s)
i(t) (A)
E/R
0
it
qt
t
ut
t
()=
() =
()
d
d
C
d
d
C
⇔ it
E
t
()=
−
R
e RC
it=0
it=0
E
-
+
( ) =
( ) =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
0
R
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u
t
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2
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él
C
C
C
C
==
==
⎛
⎝ ⎜
⎞
∫∫
∫
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d
C
dC
00
0
1
2
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t
d
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=
∫ d
C
d
t
u
t
0
2
1
2
t
C
u R
u C
E
i
+
ut +u t- E=
CR ()
()
0
⇔
u
u
t
E
C
C
+= RC
d
d
i
+
uR
uC
ut +u t=
CR ()
() 0
⇔
u
u
t
C
C
+= RC
d
d
0
d
dR CR C
u
c
t
t
u
c
t
E
() +
()=
1
d
dR C
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t
ut
C
C
() +
()=
1
0
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