37 Régimes libres du premier ordre
1. EN QUELQUES MOTS…
Lors de la mise sous tension constante d’un circuit, le courant et la tension évoluent dans le
temps : c’est le régime libre. Il est composé, au départ, d’une variation temporelle de ces deux
grandeurs : c’est le régime transitoire. Il est suivi d’un régime permanent, où les grandeurs
sont constantes. L’étude du régime libre des circuits RC ou RL conduit à une équation différentielle du premier ordre où seulement des dérivées premières interviennent.
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
b) Circuit RC :
c L’équation différentielle
est linéaire du 1 er ordre à coefficients
constants avec un second membre non nul. La solution de cette équation est de la forme :
– Cherchons
, solution de l’équation
avec A constant.
avec B constant.
a) Forme de l’excitation
Un générateur de tension impose une tension au circuit sous la
forme d’un échelon de tension : la tension passe brutalement
de 0 à la valeur constante E à l’instant t = 0.
Il s’agit d’étudier la réponse du circuit à cette excitation en
résolvant l’équation différentielle vérifiée par le courant ou la
tension.
• Pour connaître l’évolution de la tension aux bornes d’un condensateur soumis à un échelon de tension, écrivons l’équation
différentielle vérifiée par
; le condensateur se charge.
La loi des mailles ⇒
.
La loi d’ohm ⇒
.
Or
⇒
. Comme
,
t
e ( t )
E
0
u R
u C
E
i
+
ut C ()
ut +u t- E=
CR ()
()
0
u+ =E
i
C R
i=
q
t
d
d
u+
= E
q
t
C R
d
d
qu = C C uE
u
t
C R C
d
d
+=
C
d
dR C
ut
ut
E
C
C
( ) +
( ) =
tR C
1
ut =u t
cc ()
()
1
solution de l'équation
sans second m m embre
2
solution particulière
+u t
c ()
ut c1 ()
d
dR C
ut
t
ut0
C1
C1
() +
()=
1
d
dR C
ut
t
ut
C1
C1
() =−
()
1
⇔
d
RC
d
ut
ut
t
C1
C1
()
()
=−
1
⇔ d
RC
d
ln ut C1
( )
(
) =−
1
⇔ln ut +A
C1
( ) =−
1
RC
⇔ ut
B
t
C1 ()=
−
e RC
1
120