Fiche 2 • Cinématique du point matériel
rapport au temps. Par la suite, l’accélération du point M, à l’instant t, par rapport à un référentiel (R 0 ) sera notée
ou plus simplement
, telle que :
d) Expression du vecteur vitesse et du vecteur accélération dans les différents systèmes
de coordonnées
Voir tableau page suivante.
3. EN PRATIQUE…
À titre d’exercice, on propose d’établir les expressions du vecteur vitesse d’un point M par
rapport à (R 0 ) en coordonnées cylindriques (ou polaires) et en coordonnées intrinsèques,
puis l’expression du vecteur accélération d’un point M par rapport à (R 0 ) en coordonnées
intrinsèques.
* Vitesse en coordonnées cylindriques (ou polaires)
Le vecteur vitesse d’un point M correspond à la dérivée première par rapport au temps du
vecteur position par rapport à (R 0 ), d’où :
Les vecteurs unitaire et
sont mobiles, donc dépendants du temps, par rapport à (R 0 ) et
le vecteur unitaire , élément de l’axe fixe
, est indépendant du temps (Annexe A).
L’expression de la dérivée par rapport au temps du vecteur unitaire tournant par rapport à (R 0 )
s’écrit :
avec
vitesse angulaire du vecteur
autour de l’axe fixe .
Le vecteur vitesse du point M par rapport au référentiel (R 0 ) en coordonnées cylindriques
(ou polaires) s’écrit alors :
d’où :
Cette relation est applicable à tout vecteur
(de norme constante) en rotation
autour d’un axe
fixe avec une vitesse angulaire
:
.
a
t
M/R 0 ()
a M/R 0
a
V
t
t
t
M/R
M/R
R
2
R
0
0
0
0
=
d
d
dO M
d
=
2
()
V
t
ru zk
t
t
r
M/R
R
R
0
0
0
=
dOM
d
d
d
()
=
+
(
)
u r
u θ
k
O
k
u r
d
d R 0
u
t
uu
r
tr
=∧
=
()
ω
θ
θ
ω ()
()
t
t
t
kk
=
d
d
θ
θ
=
u r
O
k
AB
() t
Δ
( )
ω () t
dAB
d
AB
t
t
t
()
()
=∧ ω
V
t
ru r zk
t
r
tt
M/R
R
R
0
0
0
=
dOM
d
d
d
d
()
(
=
+
(
) =
) )
()
()
d
d
d
d
d
d
d
R
R
R
R
0
0
0
0
t
u r r
u r
t
z
t
kz
k
t
t
t
++
+
= 0
Vr ur
u
rt
M/R 0
coordonnées polaires
=+ () θ θ
+ zk
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rapport au temps. Par la suite, l’accélération du point M, à l’instant t, par rapport à un référentiel (R 0 ) sera notée
ou plus simplement
, telle que :
d) Expression du vecteur vitesse et du vecteur accélération dans les différents systèmes
de coordonnées
Voir tableau page suivante.
3. EN PRATIQUE…
À titre d’exercice, on propose d’établir les expressions du vecteur vitesse d’un point M par
rapport à (R 0 ) en coordonnées cylindriques (ou polaires) et en coordonnées intrinsèques,
puis l’expression du vecteur accélération d’un point M par rapport à (R 0 ) en coordonnées
intrinsèques.
* Vitesse en coordonnées cylindriques (ou polaires)
Le vecteur vitesse d’un point M correspond à la dérivée première par rapport au temps du
vecteur position par rapport à (R 0 ), d’où :
Les vecteurs unitaire et
sont mobiles, donc dépendants du temps, par rapport à (R 0 ) et
le vecteur unitaire , élément de l’axe fixe
, est indépendant du temps (Annexe A).
L’expression de la dérivée par rapport au temps du vecteur unitaire tournant par rapport à (R 0 )
s’écrit :
avec
vitesse angulaire du vecteur
autour de l’axe fixe .
Le vecteur vitesse du point M par rapport au référentiel (R 0 ) en coordonnées cylindriques
(ou polaires) s’écrit alors :
d’où :
Cette relation est applicable à tout vecteur
(de norme constante) en rotation
autour d’un axe
fixe avec une vitesse angulaire
:
.
a
t
M/R 0 ()
a M/R 0
a
V
t
t
t
M/R
M/R
R
2
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0
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=
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2
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V
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+
(
)
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k
O
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u
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M/R 0
coordonnées polaires
=+ () θ θ
+ zk
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