Fiche 32 • Écoulement parfait
3. EN PRATIQUE…
c Considérons un écoulement parfait dans un milieu unidimensionnel suivant x. Il est défini
par les champs de vitesse v(x,t), de pression p(x,t) et de masse volumique ρ(x,t).
Supposons que ces grandeurs s’écartent peu de celles du fluide au repos. À l’équilibre, la
pression est p 0 et la masse volumique ρ 0 . Les forces de pesanteur seront négligées.
Æ Déterminons l’équation d’Euler au premier ordre par rapport aux perturbations.
Les champs peuvent alors s’écrire :
,
avec les
écarts
,
et la vitesse v(x,t) faible devant la vitesse caractéristique
dans le fluide (vitesse du son, fiche 61).
L’équation d’Euler à une dimension est :
⇒ en introduisant les écarts :
.
Conservons uniquement le premier ordre en
, ou
ou v(x,t) pour chaque terme.
Les termes
et
sont du second ordre, par suite
; l’équation obtenue est linéaire.
c Considérons une pompe refoulante placée dans une nappe d’eau souterraine. Elle fonctionne en régime permanent. Le débit volumique de la pompe est D = 80 m 3 .h –1 . La pression
au niveau de la pompe dans l’eau est p A = 20 atm. L’eau est refoulée dans un bassin à la pression atmosphérique p 0 = 1 atm = 10 5 Pa ; celui-ci se trouve à une hauteur h au-dessus du
niveau de la nappe d’eau.
L’eau est incompressible et a une masse volumique
r 0 = 10 3 kg.m –3 .
Le rayon r de la canalisation refoulant l’eau est constant
(r = 5 cm).
L’écoulement est parfait et supposé unidimensionnel suivant
l’axe de la canalisation. La vitesse est supposée la même en tout
point d’une section droite normale à l’axe.
Æ Déterminons la vitesse v B de l’eau en sortie de la canalisation.
L’écoulement étant permanent, le débit massique est constant.
En sortie :
, or
Par suite,
est suivant
; v B = 2,83 m s –1 .
ρρ δ
xt
xt
,,
() =+() 0 ρ
pxtp
pxt
,,
() =+() 0 δ
δ, pxtp () << 0 δρ ,ρ
xt
() << 0
ρ xt
vxt
t
vxt
vxt
t
pxt
,
,
,
,,
()
∂ ()
∂
+ ()
∂ ()
∂
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ =−
∂ ()
∂ x x
ρδ ρ
0 +()
(
)
∂ ()
∂
+ ()
∂ ()
∂
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ =−
∂
xt
vxt
t
vxt
vxt
t
p
,
,
,
,
0 0 + ()
(
)
∂
δ pxt
x
,
δ, pxt ()
δρ ,
xt
()
δρ ,
,
xt
vxt
t
()
∂ ()
∂
vxt
vxt
t
,
,
()
∂ ()
∂
ρ
δ
0
∂ ()
∂
=−
∂ ()
∂
vxt
t
pxt
x
,,
Dv r
m =ρ π
0
2
DD m =ρ 0
v
D
r
B =
π
2
Oz
pompe
nappe d'eau
A
B
réservoir
h
sol
z
102
3. EN PRATIQUE…
c Considérons un écoulement parfait dans un milieu unidimensionnel suivant x. Il est défini
par les champs de vitesse v(x,t), de pression p(x,t) et de masse volumique ρ(x,t).
Supposons que ces grandeurs s’écartent peu de celles du fluide au repos. À l’équilibre, la
pression est p 0 et la masse volumique ρ 0 . Les forces de pesanteur seront négligées.
Æ Déterminons l’équation d’Euler au premier ordre par rapport aux perturbations.
Les champs peuvent alors s’écrire :
,
avec les
écarts
,
et la vitesse v(x,t) faible devant la vitesse caractéristique
dans le fluide (vitesse du son, fiche 61).
L’équation d’Euler à une dimension est :
⇒ en introduisant les écarts :
.
Conservons uniquement le premier ordre en
, ou
ou v(x,t) pour chaque terme.
Les termes
et
sont du second ordre, par suite
; l’équation obtenue est linéaire.
c Considérons une pompe refoulante placée dans une nappe d’eau souterraine. Elle fonctionne en régime permanent. Le débit volumique de la pompe est D = 80 m 3 .h –1 . La pression
au niveau de la pompe dans l’eau est p A = 20 atm. L’eau est refoulée dans un bassin à la pression atmosphérique p 0 = 1 atm = 10 5 Pa ; celui-ci se trouve à une hauteur h au-dessus du
niveau de la nappe d’eau.
L’eau est incompressible et a une masse volumique
r 0 = 10 3 kg.m –3 .
Le rayon r de la canalisation refoulant l’eau est constant
(r = 5 cm).
L’écoulement est parfait et supposé unidimensionnel suivant
l’axe de la canalisation. La vitesse est supposée la même en tout
point d’une section droite normale à l’axe.
Æ Déterminons la vitesse v B de l’eau en sortie de la canalisation.
L’écoulement étant permanent, le débit massique est constant.
En sortie :
, or
Par suite,
est suivant
; v B = 2,83 m s –1 .
ρρ δ
xt
xt
,,
() =+() 0 ρ
pxtp
pxt
,,
() =+() 0 δ
δ, pxtp () << 0 δρ ,ρ
xt
() << 0
ρ xt
vxt
t
vxt
vxt
t
pxt
,
,
,
,,
()
∂ ()
∂
+ ()
∂ ()
∂
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ =−
∂ ()
∂ x x
ρδ ρ
0 +()
(
)
∂ ()
∂
+ ()
∂ ()
∂
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ =−
∂
xt
vxt
t
vxt
vxt
t
p
,
,
,
,
0 0 + ()
(
)
∂
δ pxt
x
,
δ, pxt ()
δρ ,
xt
()
δρ ,
,
xt
vxt
t
()
∂ ()
∂
vxt
vxt
t
,
,
()
∂ ()
∂
ρ
δ
0
∂ ()
∂
=−
∂ ()
∂
vxt
t
pxt
x
,,
Dv r
m =ρ π
0
2
DD m =ρ 0
v
D
r
B =
π
2
Oz
pompe
nappe d'eau
A
B
réservoir
h
sol
z
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