Fiche 32 • Écoulement parfait
Æ L’équation d’Euler couple les variables locales de vitesse
, de pression
et de
masse volumique
. Ce sont donc 5 variables scalaires qui décrivent l’écoulement parfait.
Il est donc nécessaire d’avoir 5 équations pour résoudre le problème. L’équation d’Euler, qui
est vectorielle, en fournit trois ; l’équation locale de conservation de la masse en fournit une.
Une équation supplémentaire décrivant les propriétés du fluide est nécessaire, par exemple,
si le fluide est incompressible et homogène, la masse volumique est alors constante et connue.
d) Relation de Bernoulli
Considérons un écoulement parfait permanent d’un fluide incompressible homogène (ρ = ρ 0 ).
L’écoulement étant permanent, il n’y a pas de dépendance explicite en temps :
.
L’équation d’Euler s’écrit :
en utilisant
.
Considérons une ligne de courant (L). Elle ne varie pas au cours du temps, car l’écoulement est
permanent. Intégrons l’équation d’Euler entre deux points A et B de cette ligne de courant.
Soit
l’élément de ligne de courant en M :
De plus, la force de pesanteur dérive d’un potentiel, V = ρ 0 gz (
orienté suivant la verticale
ascendante) ; par suite
. ρ 0 étant constante, l’expression devient :
⇔
.
C’est la relation de Bernoulli qui exprime la conservation de l’énergie massique le long d’une
ligne de courant.
.
Comme
est parallèle à la vitesse,
.
A et B étant deux points d’une
ligne de courant,
v : vitesse (m.s –1 )
g : accélération de la pesanteur (m.s –2 )
z : altitude (m)
p : pression (Pa)
r 0 : masse volumique du fluide incompressible (kg.m –3 )
vt M,
( )
p M,t
( )
ρ M,t
( )
∂
∂
=
v
t
0
grad
rot
grad
v
vvg
p
2
0
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +∧ =− ρ
vv
v
v
.gradg radr ot
(
) =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +∧
2
2
v v
d
l
grad
rotd
v
vv
lg
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +∧
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅=
∫ A
B
− −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⋅
∫
grad
d
p
l
ρ 0
A
B
d
l
rotd
vv l
∧
(
) ⋅= 0
A
B
M
v (M)
dl
Oz
gg z
=−
()
grad
grad
d
v
gz
p
l
A
B
2
0
2
0
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅=
∫
ρ
v
gz
p
2
0
2
0
++
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
ρ A
B
v
gz
pv
gz
p
A
A
AB
B
B
2
0
2
0
22
++=+
+
ρρ
101
Æ L’équation d’Euler couple les variables locales de vitesse
, de pression
et de
masse volumique
. Ce sont donc 5 variables scalaires qui décrivent l’écoulement parfait.
Il est donc nécessaire d’avoir 5 équations pour résoudre le problème. L’équation d’Euler, qui
est vectorielle, en fournit trois ; l’équation locale de conservation de la masse en fournit une.
Une équation supplémentaire décrivant les propriétés du fluide est nécessaire, par exemple,
si le fluide est incompressible et homogène, la masse volumique est alors constante et connue.
d) Relation de Bernoulli
Considérons un écoulement parfait permanent d’un fluide incompressible homogène (ρ = ρ 0 ).
L’écoulement étant permanent, il n’y a pas de dépendance explicite en temps :
.
L’équation d’Euler s’écrit :
en utilisant
.
Considérons une ligne de courant (L). Elle ne varie pas au cours du temps, car l’écoulement est
permanent. Intégrons l’équation d’Euler entre deux points A et B de cette ligne de courant.
Soit
l’élément de ligne de courant en M :
De plus, la force de pesanteur dérive d’un potentiel, V = ρ 0 gz (
orienté suivant la verticale
ascendante) ; par suite
. ρ 0 étant constante, l’expression devient :
⇔
.
C’est la relation de Bernoulli qui exprime la conservation de l’énergie massique le long d’une
ligne de courant.
.
Comme
est parallèle à la vitesse,
.
A et B étant deux points d’une
ligne de courant,
v : vitesse (m.s –1 )
g : accélération de la pesanteur (m.s –2 )
z : altitude (m)
p : pression (Pa)
r 0 : masse volumique du fluide incompressible (kg.m –3 )
vt M,
( )
p M,t
( )
ρ M,t
( )
∂
∂
=
v
t
0
grad
rot
grad
v
vvg
p
2
0
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +∧ =− ρ
vv
v
v
.gradg radr ot
(
) =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +∧
2
2
v v
d
l
grad
rotd
v
vv
lg
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +∧
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅=
∫ A
B
− −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⋅
∫
grad
d
p
l
ρ 0
A
B
d
l
rotd
vv l
∧
(
) ⋅= 0
A
B
M
v (M)
dl
Oz
gg z
=−
()
grad
grad
d
v
gz
p
l
A
B
2
0
2
0
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅=
∫
ρ
v
gz
p
2
0
2
0
++
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
ρ A
B
v
gz
pv
gz
p
A
A
AB
B
B
2
0
2
0
22
++=+
+
ρρ
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