Fiche 32 • Écoulement parfait
c Bilan de masse en représentation eulérienne
Æ Forme intégrale de la conservation de la masse
Dans le volume V, considérons un volume fixe dτ autour du point M. Dans ce volume dτ, la
masse contenue, à l’instant t, est
; par suite, la variation de masse, entre les
instants t et t + δt, dans dτ, est :
.
Le fluide s’écoulant au cours du temps, de la masse entre et sort du volume V fixe. Entre les
instants t et t + δt, la somme de la variation de la masse dans le volume V et de la masse sortant à travers la surface S est nulle :
.
Æ Équation locale de la conservation de la masse
En divisant par δt et en utilisant le théorème d’Ostrogradski (Annexe B) :
.
Cette relation est vérifiée pour tout volume V ; d’où :
b) Définitions
Æ Un écoulement parfait est un écoulement où les phénomènes dissipatifs sont négligeables :
c Absence de frottements liés à la viscosité : les seules forces surfaciques sont les forces pressantes
c Absence de transfert thermique d’un point à l’autre du fluide.
Æ Un écoulement est permanent ou stationnaire si les champs qui le décrivent ne dépendent
pas explicitement du temps.
c) Équation d’Euler décrivant un écoulement parfait
Æ Soit un écoulement parfait dans le champ de pesanteur.
Considérons le système formé par une particule fluide de volume dτ ; sa masse est
.
Ce système est soumis aux forces extérieures suivantes :
c forces de pression sur sa surface, forces équivalentes à la force volumique
(fiche 30) ;
c force volumique de pesanteur
.
La relation fondamentale de la dynamique donne :
.
En utilisant l’expression de la dérivée particulaire, on obtient l’équation d’Euler :
. Cette équation est non linéaire.
Considérons un volume V fixe dans le référentiel terrestre,
limité par une surface S fermée. Par convention, la normale est orientée vers l’extérieur. Dans l’écoulement, il n’y
a aucune source de masse.
volume V
surface S
n
dM d
mt
t
()= ( )
ρ , τ
dd
MM
d
M d
mt tm tt tt
t
t
+
(
) − ()=+ (
) − ( )
(
) =
∂ ( )
∂
δρ
δρ
,,
,
τ
ρ
τ δ δ t
∂ ( )
∂
+
( ) ( )
∫∫∫
ρ
δρ
δ
M dM
Md
volume
su
,
,, .
t
t
tt vt nSt
V
τ
r r face S
∫∫
= 0
∂ ( )
∂
+
( ) ( )
(
)
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
=
∫∫∫
ρ
ρ
M
divM
Md
volume
,
,,
t
t
tv
t
V
τ 0 0
∂ ( )
∂
+
( ) ( )
(
) =
ρ
ρ
M
divM
M
,
,,
t
t
tv
t
0
ρτ d
− grad d
p τ
ρ
g dτ
ρτ
ρτ
τ
d
D
D
dg radd
v
t
gp
=−
ρρ
∂
∂
+ (
)
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ =−
v
t
vv
gp
.gradg rad
100
c Bilan de masse en représentation eulérienne
Æ Forme intégrale de la conservation de la masse
Dans le volume V, considérons un volume fixe dτ autour du point M. Dans ce volume dτ, la
masse contenue, à l’instant t, est
; par suite, la variation de masse, entre les
instants t et t + δt, dans dτ, est :
.
Le fluide s’écoulant au cours du temps, de la masse entre et sort du volume V fixe. Entre les
instants t et t + δt, la somme de la variation de la masse dans le volume V et de la masse sortant à travers la surface S est nulle :
.
Æ Équation locale de la conservation de la masse
En divisant par δt et en utilisant le théorème d’Ostrogradski (Annexe B) :
.
Cette relation est vérifiée pour tout volume V ; d’où :
b) Définitions
Æ Un écoulement parfait est un écoulement où les phénomènes dissipatifs sont négligeables :
c Absence de frottements liés à la viscosité : les seules forces surfaciques sont les forces pressantes
c Absence de transfert thermique d’un point à l’autre du fluide.
Æ Un écoulement est permanent ou stationnaire si les champs qui le décrivent ne dépendent
pas explicitement du temps.
c) Équation d’Euler décrivant un écoulement parfait
Æ Soit un écoulement parfait dans le champ de pesanteur.
Considérons le système formé par une particule fluide de volume dτ ; sa masse est
.
Ce système est soumis aux forces extérieures suivantes :
c forces de pression sur sa surface, forces équivalentes à la force volumique
(fiche 30) ;
c force volumique de pesanteur
.
La relation fondamentale de la dynamique donne :
.
En utilisant l’expression de la dérivée particulaire, on obtient l’équation d’Euler :
. Cette équation est non linéaire.
Considérons un volume V fixe dans le référentiel terrestre,
limité par une surface S fermée. Par convention, la normale est orientée vers l’extérieur. Dans l’écoulement, il n’y
a aucune source de masse.
volume V
surface S
n
dM d
mt
t
()= ( )
ρ , τ
dd
MM
d
M d
mt tm tt tt
t
t
+
(
) − ()=+ (
) − ( )
(
) =
∂ ( )
∂
δρ
δρ
,,
,
τ
ρ
τ δ δ t
∂ ( )
∂
+
( ) ( )
∫∫∫
ρ
δρ
δ
M dM
Md
volume
su
,
,, .
t
t
tt vt nSt
V
τ
r r face S
∫∫
= 0
∂ ( )
∂
+
( ) ( )
(
)
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
=
∫∫∫
ρ
ρ
M
divM
Md
volume
,
,,
t
t
tv
t
V
τ 0 0
∂ ( )
∂
+
( ) ( )
(
) =
ρ
ρ
M
divM
M
,
,,
t
t
tv
t
0
ρτ d
− grad d
p τ
ρ
g dτ
ρτ
ρτ
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D
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t
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=−
ρρ
∂
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⎡
⎣ ⎢
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