32 Écoulement parfait
1. EN QUELQUES MOTS…
Dans les écoulements parfaits, les phénomènes dissipatifs sont négligés. Ces écoulements
vérifient l’équation d’Euler. Celle-ci conduit, dans certains cas, à une équation de conservation (relation de Bernoulli) permettant de nombreuses applications.
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
Considérons un écoulement fluide dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Cet écoulement est décrit en représentation eulérienne.
a) Bilan de la masse
c La densité de courant massique
est la masse traversant l’unité de surface par unité de temps.
Considérons une surface dS fixe dans le référentiel terrestre, centrée sur le point M.
La densité de courant massique, au point M, à l’instant t, est :
.
c Débit massique
Le débit massique D m à travers une surface S est la masse traversant cette surface par unité
de temps. Il s’exprime en kg.s –1 .
En sommant les débits massiques élémentaires
sur la surface S, le
débit massique D m à travers une surface S est donné par :
.
δm : masse traversant la surface (kg)
dS : surface (m 2 ) ; δt : intervalle de temps (s)
: vecteur unitaire normal à la surface
: densité de courant massique (kg.s –1 .m –2 )
La masse δm traversant la surface dS pendant le temps dt est
la masse des particules fluides occupant, à l’instant t, le cylindre de base dS e t de génératrice parallèle à la vitesse
; la longueur du cylindre est
. En introduisant la masse volumique
:
.
j m
δδ mjndSt m
=
⋅
n
j m
d S
n
1
m
j
d S
M
génératrice
vt M,
( )
vt t
M,
( ) δ
ρ M,t
( )
δρ
δ
mt vt nSt
=(
) ( ) ⋅
MM
d
,,
jM tt vt
m
,,
,
( ) = ( ) ( )
ρ MM
dM
Md
Dt vt nS
m = ( ) ( )
ρ ,, .
Dt vt nS
m =
( ) ( )
∫∫ ρ MMd ,, .
S
99