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Physique statistique
+
1
2 , ou +
1
2 , sont égales (p = q =
1
2 ). La projection du spin total S z :
S z =
N
i=1
s z
(63)
est l’analogue du déplacement x = ml dans le problème de la marche au hasard. Les
équations (49) et (62) donnent :
= 0 et s
2
sz = N
(64)
L’équivalent de la variable n dans le problème de la marche au hasard est ici le nombre
d’atomes dont la projection du spin s z est égale à une valeur donnée, +
1
2 par exemple.
Soit n cette quantité. Nous avons :
=
N
2
et s
2
n =
N
4
(65)
Pour trois atomes sur le réseau, on a par exemple : = 1, 5 et s n = 0, 87. La largeur relative vaut
s n

= 0, 58. Les fluctuations autour de la valeur moyenne sont très grandes.
Si nous considérons à présent un ensemble macroscopique pour lequel N = N = 6 10 23 ,
on a < n >= 3 10 23 et s n = 3, 9 10 11 . La largeur relative,
s n
< n >
= 1, 3 10
−12 , devient
alors extrêmement faible. Par conséquent, toute mesure de S z sur ce système conduira à
observer la valeur moyenne. Les déviations autour de cette valeur sont, en général, bien
en deçà de la précision expérimentale.
Illustration. La figure 5 montre le résultat d’un calcul, correspondant à une marche au hasard
à deux dimensions, effectué par Bertrand Duplantier et Jean Marc Luck du service de physique
théorique du CEA/Saclay. La trajectoire de la particule est extrêmement irrégulière et couvre tout
le plan au bout d’un temps infini. On dit que sa dimension de Hausdorff (dimension fractale) est
égale à deux.
Figure 3.5