3 • Postulats de la physique statistique
67
3.6.2 La distribution de Gauss
L’examen de la figure 4 correspondant à p = q =
1
2 montre que lorsque N augmente la
distribution binomiale ressemble beaucoup à une gaussienne. Nous allons montrer que
la distribution de Gauss est une excellente approximation de la distribution binomiale
lorsque N 1 (si p ou q ne sont pas très petits). Lorsque N est très grand, la distribution
binomiale est une fonction très piquée au voisinage de son maximum que nous noterons
˜
n. Si n varie d’une unité, au voisinage de ˜
n, P(n) varie très peu :
|P(n + 1) − P(n)| | P(n)
(66)
Donc, nous pouvons considérer la variable n et la fonction P(n) comme continues.
Comme P(n) varie très rapidement au voisinage de ˜
n, il est plus commode de considérer Log P(n), qui a le même comportement que P(n), mais qui varie plus lentement
en fonction de n. Un développement de Taylor de Log P(n) jusqu’au second ordre, au
voisinage de n = ˜
n, donne :
Log P(n) = Log P(˜ n) + (n − ˜
n)
d
dn
Log P(n)
n=˜ n
+
1
2
(n − ˜
n)
2
d 2
dn 2 Log P(n)
n=˜ n
+ O[(n − ˜
n)
3 ]
(67)
Par hypothèse, P(n) est maximum pour n = ˜
n, donc :
d
dn
Log P(n)
n=˜ n
= 0
(68)
Au second ordre on peut écrire :
Log
P(n)
P(˜ n)
=
1
2
(n − ˜
n)
2
d 2
dn 2 Log P(n)
n=˜ n
(69)
soit :
P(n) = P(˜ n) exp
1
2
d 2
dn 2 Log P(n)
n=˜ n
(n − ˜
n)
2
(70)
Comme P(n) est maximum en n = ˜
n, on a :
d 2
dn 2 Log P(n)
n=˜ n
< 0
(71)
Posons :
d 2
dn 2 Log P(n)
n=˜ n
= −
1
s 2
(72)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.