3 • Postulats de la physique statistique
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Lorsque N augmente, la largeur relative décroît comme
1
√
N
. Nous retrouvons, pour la
distribution binomiale, un résultat que nous avons admis a priori dans le cas général, à
savoir que les fluctuations relatives d’une grandeur macroscopique autour de sa valeur
moyenne sont ≈
1
√
N
.
Figure 3.4
Nous avons calculé la variance associée à la variable n. Il nous reste à présent à calculer
celle associée à la variable m. Comme :
m = 2n − N
(59)
on a :
m
2 = 4n
2
− 4nN + N
2
(60)
Si l’on prend la moyenne de chacun des termes des expressions (59) et (60) :
= 2 −N et
2
>= 4 2
> −4 N + N
2
(61)
On trouve alors :
s
2
m = 2
> −
2 = 4
2
> −
2
= 4s
2
n = 4Npq
(62)
En particulier, pour p = q =
1
2 , on a s 2
m = N. À titre d’illustration, nous avons tracé, dans
la figure 4, la distribution binomiale P(n) pour p = q =
1
2 et différentes valeurs de N. On
pourrait vérifier que lorsque N croît la largeur relative de la distribution décroît.
Remarque. Nous avons défini la largeur relative par rapport à la variable n et non par
rapport à m. Dans ce dernier cas, comme = 0 pour p = q =
1
2 , nous aurions trouvé
un résultat infini pour toutes les valeurs de N, ce qui n’aurait aucun sens. Il faut choisir
n, ou n
, car ce sont ces variables qui sont représentatives du nombre de pas effectués.
Au contraire, la variable m, qui est la différence entre n et n
, représente plutôt le résultat
effectif de deux effets contraires (aller vers la droite ou vers la gauche).
Appliquons les résultats précédents à la chaîne de spin définie au début de cette section :
N atomes de spin s =
1
2 disposés selon un réseau linéaire. En l’absence de champ magnétique extérieur, les probabilités pour que la projection s z du spin d’un atome soit égale à
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.