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Physique statistique
Le déplacement moyen vers la droite, mesuré en unités l, est égal à la valeur moyenne
de m :
= >= − >= N(p − q)
(49)
Si p = q, < m >= 0 comme on pouvait s’y attendre. Lorsqu’on a une distribution de
probabilité, on sait qu’il existe une dispersion autour de la valeur moyenne. L’ampleur
de celle-ci est mesurée à l’aide de la variance s 2 de la distribution. Pour la variable n
qui nous intéresse, nous avons la relation :
s
2
n =<(n− )
2
>= 2
− 2n +
2
>= 2
> −
2
(50)
c’est la moyenne du carré, moins le carré de la moyenne. Évaluons :
2
>=
N
n=0
n
2
P(n) =
N
n=0
C
n
N n
2 p
n q
N−n
(51)
Nous allons calculer cette somme par la même méthode que celle utilisée pour évaluer
la valeur moyenne, i.e. en remarquant que :
n
2 p
n = n
p
∂
∂p
p
n =
p
∂
∂p
2
p
n
(52)
d’où :
N
n=0
C
n
N n
2 p
n q
N−n =
N
n=0
C
n
N
p
∂
∂p
2
p
n q
N−n =
p
∂
∂p
2 N
n=0
p
n q
N−n
(53)
ce qui donne en utilisant (37) :
p
∂
∂p
2
(p + q)
N =
p
∂
∂p
Np(p + q)
N−1
= p
N(p + q)
N−1 + pN(N − 1)(p + q)
N−2
(54)
Choisissons à présent p + q = 1. Cela conduit à :
2
>= Np(1 + pN − p) = Np(Np + q) = (Np)
2 + Npq =
2 +Npq
(55)
La variance vaut donc :
s
2
n = 2
> −
2 = Npq
(56)
L’écart type, Dn = s n , est proportionnel à la largeur de la distribution P(n) autour de
. Une mesure relative de cette largeur est donnée par la quantité :
Dn

=
√
Npq
Np
=
q
p
1
√
N
(57)
si p = q =
1
2 , on trouve :
Dn

=
1
√
N
(58)