3 • Postulats de la physique statistique
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Figure 3.3
Calculons à présent la valeur moyenne et la variance associées à la distribution binomiale. Nous
allons travailler sur la fonction de probabilité P(n). La valeur moyenne de n est définie par :
=
N
n=0
nP(n) =
N
n=0
C
n
N n p
n q
N−n
(42)
Pour évaluer la somme ci-dessus, nous allons utiliser une astuce qui est souvent employée dans des cas analogues. Supposons que p et q soient deux variables arbitraires
indépendantes et continues. On peut alors écrire :
n p
n = p
∂
∂p
p
n
(43)
d’où :
N
n=0
C
n
N n p
n q
N−n =
N
n=0
C
n
N
p
∂
∂p
p
n
q
N−n = p
∂
∂p
N
n=0
C
n
N p
n q
N−n
(44)
Le dernier membre de l’équation (44) a été obtenu en permutant la somme et la différentiation. Cette dernière ne s’applique pas sur q N−n car nous avons supposé que p et
q étaient des variables indépendantes. Dans le second membre de l’équation (44) nous
reconnaissons le développement du binôme (équation 37). Ce qui conduit, pour l’expression (44), à :
p
∂
∂p
(p + q)
N = pN(p + q)
N−1
(45)
Ce résultat est valable pour toutes valeurs de p et q. Il est en particulier valable si nous
choisissons p + q = 1. Il s’ensuit :
= Np
(46)
Ce résultat n’est pas surprenant. En effet, si p est la probabilité de faire un pas vers la
droite, le nombre moyen de pas dans cette direction sur un total de N pas, est Np. La valeur moyenne du nombre de pas vers la gauche peut être obtenue à partir de l’expression
(32). Si l’on prend la moyenne des deux membres on obtient :
+ >= N
(47)
(la valeur moyenne de N est égale à N puisque c’est une constante). Par suite :
>= N − Np = Nq
(48)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.