320
Physique statistique
d) En utilisant le résultat de c), on obtient :
d ij
∂
∂E
HE
(H − E)d
3 xd
3 p = −d ij
HE
d
3 xd
3 p
Soit
< p i
∂H
∂p j
>= d ij
F(E)
∂F(E)/∂E
= d ij
1
∂ Log F(E)/∂E
= d ij
k
∂S/∂E
= d ij kT
D’où < H >=
3
2 kT pour une particule car chaque variable joue un rôle équivalent.
II- Pour un oscillateur on a 3 p i et 3 x i .< H >=
1
2
3
i=1
p i
∂H
∂pi + q i
∂H
∂qi
. Chaque variable p i ou q i
est telle que < x i
∂H
∂xi >= kT. d’où < H >= 3kT.
Exercice 3. 1- Pour un système de N oscillateurs, l’espace de phase a 2N dimensions, et le
volume des états V(E) est limité par une hyper-ellipsoïde de demi-axes :
q 0 =
1
v
2E
m
et
p 0 =
√
2mE
2- En généralisant l’expression du volume de l’hypersphère (36) , on a :
V(E) = (p 0 q 0 )
N C 2N =
2E
v
N p
N
N!
=
1
N!
2pE
v
N
La densité d’état r(E) accessibles au système d’énergie comprise entre E et E + dE, vaut :
r(E) =
1
h N ·
dV(E)
dE
=
1
(N − 1)!
·
E
v
N
·
1
E
3- Traitement quantique. L’énergie, quantifiée, est donnée par :
E =
N
i=1
n i +
1
2
v = v ·
N
i=1
n i +
1
2
N
i=1
1
ce qui entraîne
E
v entier et
N
i=1
n i = M =
E
v
−
N
2
avec M entier positif donné.
La dégénérescence d’un niveau d’énergie E est donnée par le nombre de façons de fabriquer
l’entier M > 0 avec les N oscillateurs. D’après l’exercice 9 du chapitre 2 , on trouve une dégénérescence :
C
(N−1)
M+(N−1) =
(M + N − 1)!
M!(N − 1)!
4- Les niveaux sont séparés par v, donc :
r(E) =
1
v
·
(M + N − 1)!
M!(N − 1)!
dans la limite des grands nombres, ce résultat quantique doit être égal au résultat classique de la
question 2. Si E >> N v c’est à dire si M >> 1 alors :
(M + N − 1)!
M!
(M + N − 1)(M + N − 2).......(M + 1) M
(N−1)
d’où :
r(E)
1
v
·
M
(N−1)
(N − 1)!
r(E) =
1
v
N
·
E
(N−1)
(N − 1)!