Corrigé des exercices
321
Exercice 4. 1- a) Le nombre de microétats d’énergie E est : V = C
Na
N =
N!
Na!Nb! avec N = N a +N b
et E = N a ´ a + N b ´ b d’où :
N a =
E − N´ b
´ a − ´ b
et N b =
N´ a − E
´ a − ´ b
puisque S
∗
= k B ln V si N a = 0 ou N alors S
∗ = 0
b) N´ b < E < N´ a On a : pour E max = N´ a alors L = Nl a tandis que pour E min = N´ b alors :
L = Nl b .
S
∗ = k B ln
N!
Na!Nb! ≈ k B
N ln N −
Emax−E
DE
ln
Emax−E
DE
−
E−Emin
DE ln
E−Emin
DE
avec DE = ´ a − ´ b .
La courbe S
∗ (E) A une courbure négative, s’annule avec une pente infinie en E max et en E min . La
courbe a un maximum pour
Emax−Emin
2
où S
∗ (E) = Nk B ln 2.
c) On en déduit la température microcanonique :
1
T ∗ = ∂S
∗ /∂E. D’où :
1/T
∗ = −k B
∂N a
∂E
∂
∂N a
N a ln N a +
∂N b
∂E
∂
∂N b
N b ln N b
=
k B
DE
ln
N b
N a
=⇒ T
∗ =
DE
k B
ln
E max − E
E_E min
−1
Au point où S
∗ (E) est maximum, la courbe donnant T
∗ (E) possède une asymptote, par conséquent T
∗ est infinie.
2- Contact thermique avec un gaz parfait. N p segments, N g atomes.
a) Température microcanonique :
T
∗
g (E g ) =
2E g
3N g k B
ne dépend que de l’énergie cinétique E g du gaz (positive), donc T
∗
g (E g ) > 0.
b) Condition d’équilibre : T
∗
p (E
f
p ) = T
∗
g (E 0 − E
f
p ).
c) Résolution graphique : on cherche l’intersection entre la courbe donnant T
∗ (E) avec la droite
correspondant à la température du gaz linéaire en énergie. Cette droite de pente négative coupe
l’axe horizontal en E 0 . L’intersection de la droite avec la branche gauche de la courbe donnant
T
∗ conduit à T
∗
p > 0 ∀ E
i
p .
Chapitre 6
Exercice 1. 1- La probabilité P 1/2 de trouver les atomes de gallium dans l’état P 1/2 , d’énergie
´ 1 est P 1/2 =
2
Z e
−b´1 . La probabilité P 3/2 de trouver les atomes de gallium dans l’état P 3/2 ,
d’énergie ´ 2 = ´ 1 + ´ est P 3/2 =
4
Z e
−b´2 . D’où :
P 1/2
P 3/2
=
1
2 e
−b(´1−´2) =
1
2 e
´/kT
2- Si T = T a ⇒
P 1/2
P 3/2
=
1
2 e
´/kTa . Si T = 6T a ⇒
P 1/2
P 3/2
=
1
2 e
´/6kTa . A.N. T a = 300K, ´/kT a = 3, 94
donc
P 1/2
P 3/2
= 25, 8. À température ambiante, le gallium est presque intégralement dans l’état le
plus bas. Si T = 6T a , on trouve
P 1/2
P 3/2
= 0, 97. Il y a alors autant d’atomes dans l’état excité que
dans l’état fondamental.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Exercice 4. 1- a) Le nombre de microétats d’énergie E est : V = C
Na
N =
N!
Na!Nb! avec N = N a +N b
et E = N a ´ a + N b ´ b d’où :
N a =
E − N´ b
´ a − ´ b
et N b =
N´ a − E
´ a − ´ b
puisque S
∗
= k B ln V si N a = 0 ou N alors S
∗ = 0
b) N´ b < E < N´ a On a : pour E max = N´ a alors L = Nl a tandis que pour E min = N´ b alors :
L = Nl b .
S
∗ = k B ln
N!
Na!Nb! ≈ k B
N ln N −
Emax−E
DE
ln
Emax−E
DE
−
E−Emin
DE ln
E−Emin
DE
avec DE = ´ a − ´ b .
La courbe S
∗ (E) A une courbure négative, s’annule avec une pente infinie en E max et en E min . La
courbe a un maximum pour
Emax−Emin
2
où S
∗ (E) = Nk B ln 2.
c) On en déduit la température microcanonique :
1
T ∗ = ∂S
∗ /∂E. D’où :
1/T
∗ = −k B
∂N a
∂E
∂
∂N a
N a ln N a +
∂N b
∂E
∂
∂N b
N b ln N b
=
k B
DE
ln
N b
N a
=⇒ T
∗ =
DE
k B
ln
E max − E
E_E min
−1
Au point où S
∗ (E) est maximum, la courbe donnant T
∗ (E) possède une asymptote, par conséquent T
∗ est infinie.
2- Contact thermique avec un gaz parfait. N p segments, N g atomes.
a) Température microcanonique :
T
∗
g (E g ) =
2E g
3N g k B
ne dépend que de l’énergie cinétique E g du gaz (positive), donc T
∗
g (E g ) > 0.
b) Condition d’équilibre : T
∗
p (E
f
p ) = T
∗
g (E 0 − E
f
p ).
c) Résolution graphique : on cherche l’intersection entre la courbe donnant T
∗ (E) avec la droite
correspondant à la température du gaz linéaire en énergie. Cette droite de pente négative coupe
l’axe horizontal en E 0 . L’intersection de la droite avec la branche gauche de la courbe donnant
T
∗ conduit à T
∗
p > 0 ∀ E
i
p .
Chapitre 6
Exercice 1. 1- La probabilité P 1/2 de trouver les atomes de gallium dans l’état P 1/2 , d’énergie
´ 1 est P 1/2 =
2
Z e
−b´1 . La probabilité P 3/2 de trouver les atomes de gallium dans l’état P 3/2 ,
d’énergie ´ 2 = ´ 1 + ´ est P 3/2 =
4
Z e
−b´2 . D’où :
P 1/2
P 3/2
=
1
2 e
−b(´1−´2) =
1
2 e
´/kT
2- Si T = T a ⇒
P 1/2
P 3/2
=
1
2 e
´/kTa . Si T = 6T a ⇒
P 1/2
P 3/2
=
1
2 e
´/6kTa . A.N. T a = 300K, ´/kT a = 3, 94
donc
P 1/2
P 3/2
= 25, 8. À température ambiante, le gallium est presque intégralement dans l’état le
plus bas. Si T = 6T a , on trouve
P 1/2
P 3/2
= 0, 97. Il y a alors autant d’atomes dans l’état excité que
dans l’état fondamental.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.