13 • Phénomènes de transport
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Les moyennes que nous prendrons sont définies sur un ensemble de systèmes identiques au niveau macroscopique (macroétats). Chaque système est dans le même macroétat mais dans un micro-état différent. Les hypothèses que l’on peut faire sur F(t)
sont les suivantes :
• Le fluide étant supposé isotrope, il n’y a pas de direction privilégiée dans l’espace
et la force F(t) doit être en nulle moyenne= 0. On appellera cette moyenne le
moment d’ordre 1 de F(t).
• On suppose que la corrélation entre deux collisions se produisant l’une à t 1 , l’autre à
t 2 est nulle dès que la différence t 1 − t 2 est supérieure à la durée de la collision t c . Par
conséquent, on peut écrire, pour le moment d’ordre 2 de F :
= f(t 1 − t 2 )
(48)
où f(t 1 −t 2 ) est une fonction très piquée autour de t 1 −t 2 = 0. Sa valeur est pratiquement
nulle dès que |t 1 − t 2 | diffère notablement de t c . Nous ferons une hypothèse de plus, à
savoir que le processus est gaussien. C’est une hypothèse très raisonnable lorsqu’il y a un
grand nombre de collisions, ce qui est le cas (cf. section 3.6.2). Pour cette distribution, les
moments d’ordre supérieurs peuvent tous être exprimés en fonction des deux premiers
moments que nous venons de définir.
Pour simplifier les évaluations ultérieures, tout en ne perdant rien des idées physiques,
il est commode de supposer que la fonction de corrélation (48) est une distribution de
Dirac. Cette approximation est excellente dès que l’on considère des temps supérieurs à
t c , ce qui est le cas ici. La fonction de corrélation peut s’écrire sous la forme :
= Cd(t 1 − t 2 )
(49)
où C est une constante. Les hypothèses introduites ci-dessus vont nous permettre d’utiliser facilement l’équation de Langevin. Nous allons, dans la suite, supposer qu’il n’y a
pas de champ extérieur appliqué (F(t) = 0).
Pour résoudre l’équation de Langevin avec les hypothèses qui viennent d’être faites,
nous allons l’écrire sous la forme suivante :
M
dv
dt
+ gv = F(t)
(50)
La solution générale de cette équation différentielle s’obtient en deux étapes. Dans la
première, on cherche la solution de l’équation différentielle sans second membre. Celleci est K exp(−
g
M
t). Dans une deuxième étape, on fait << varier >> la constante K. Tous
calculs faits, on obtient pour la solution générale :
v(t) =
t
0
e
−
g
M
(t − t)
F(t) dt + v(0)e
−
g
M
t
(51)
Le deuxième terme décroît très vite en fonction du temps si bien que sa contribution
est négligeable dès que t M/g. Dans ce qui suit, nous le négligerons car nous nous
intéresserons aux quantités physiques pour des temps nettement supérieurs. Calculons,
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Les moyennes que nous prendrons sont définies sur un ensemble de systèmes identiques au niveau macroscopique (macroétats). Chaque système est dans le même macroétat mais dans un micro-état différent. Les hypothèses que l’on peut faire sur F(t)
sont les suivantes :
• Le fluide étant supposé isotrope, il n’y a pas de direction privilégiée dans l’espace
et la force F(t) doit être en nulle moyenne
moment d’ordre 1 de F(t).
• On suppose que la corrélation entre deux collisions se produisant l’une à t 1 , l’autre à
t 2 est nulle dès que la différence t 1 − t 2 est supérieure à la durée de la collision t c . Par
conséquent, on peut écrire, pour le moment d’ordre 2 de F :
(48)
où f(t 1 −t 2 ) est une fonction très piquée autour de t 1 −t 2 = 0. Sa valeur est pratiquement
nulle dès que |t 1 − t 2 | diffère notablement de t c . Nous ferons une hypothèse de plus, à
savoir que le processus est gaussien. C’est une hypothèse très raisonnable lorsqu’il y a un
grand nombre de collisions, ce qui est le cas (cf. section 3.6.2). Pour cette distribution, les
moments d’ordre supérieurs peuvent tous être exprimés en fonction des deux premiers
moments que nous venons de définir.
Pour simplifier les évaluations ultérieures, tout en ne perdant rien des idées physiques,
il est commode de supposer que la fonction de corrélation (48) est une distribution de
Dirac. Cette approximation est excellente dès que l’on considère des temps supérieurs à
t c , ce qui est le cas ici. La fonction de corrélation peut s’écrire sous la forme :
(49)
où C est une constante. Les hypothèses introduites ci-dessus vont nous permettre d’utiliser facilement l’équation de Langevin. Nous allons, dans la suite, supposer qu’il n’y a
pas de champ extérieur appliqué (F(t) = 0).
Pour résoudre l’équation de Langevin avec les hypothèses qui viennent d’être faites,
nous allons l’écrire sous la forme suivante :
M
dv
dt
+ gv = F(t)
(50)
La solution générale de cette équation différentielle s’obtient en deux étapes. Dans la
première, on cherche la solution de l’équation différentielle sans second membre. Celleci est K exp(−
g
M
t). Dans une deuxième étape, on fait << varier >> la constante K. Tous
calculs faits, on obtient pour la solution générale :
v(t) =
t
0
e
−
g
M
(t − t)
F(t) dt + v(0)e
−
g
M
t
(51)
Le deuxième terme décroît très vite en fonction du temps si bien que sa contribution
est négligeable dès que t M/g. Dans ce qui suit, nous le négligerons car nous nous
intéresserons aux quantités physiques pour des temps nettement supérieurs. Calculons,
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.