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Physique statistique
Remarque. Pour une particule sphérique de rayon R B se déplaçant dans un liquide de
viscosité h avec la vitesse v, on peut montrer que la force de friction −gv est donnée par
la loi de Stockes : −gv = −6phR B v.
L’équation de Newton est déterministe et ne peut décrire la trajectoire erratique de la
particule de Brown. Ceci provient de ce qu’elle néglige les chocs des molécules sur la
particule macroscopique. Lorsque M est très grand comparé à la masse des molécules,
cet effet est bien entendu négligeable et l’équation de Newton décrit parfaitement l’évolution de la particule macroscopique. C’est le cas, par exemple, d’une bille tombant dans
un liquide. Ce n’est par contre pas le cas pour un grain de pollen qui peut être dévié
de manière observable lors d’une collision avec une molécule. Si les chocs ne sont pas
très nombreux, le changement de direction induit peut être facilement observé au microscope : c’est ce qu’a vu le botaniste Robert Brown. Cela se traduit par une impression de
marche au hasard analogue à celle que nous avons décrite dans le chapitre 3.
Une manière simple de décrire le phénomène observé consiste à partir de l’équation
déterministe de Newton et à lui ajouter un terme aléatoire ou stochastique qui traduit une
partie de l’influence des molécules du fluide sur la particule de Brown. Plus précisément,
cette contribution aléatoire, F(t), provient des fluctuations, autour d’une valeur moyenne,
de la résultante des forces des molécules s’exerçant sur la particule de Brown. Ce terme
stochastique, F(t), est ajouté dans le second membre de l’équation de Newton et l’on
obtient :
M
dv
dt
= F − gv + F(t)
(47)
Chaque collision entre une molécule et la particule de Brown conduit à une déflexion
de cette dernière. Ces collisions sont aléatoires en position, en direction, en intensité et
en temps. Compte tenu du grand nombre de molécules présentes dans le fluide, on ne
peut pas prédire exactement l’effet de ces collisions sur la particule macroscopique. Par
contre, on peut caractériser la force aléatoire F(t) par un certain nombre de propriétés
statistiques. L’équation (47) n’est alors plus déterministe mais stochastique. Elle est dénommée équation de Langevin du nom du physicien qui l’a proposée pour la première
fois en 1908. L’idée est donc de faire des hypothèses statistiques raisonnables sur la
nature de la force stochastique F(t). C’est ce que nous allons examiner maintenant.
Remarque. La force de friction, −gv, provient également des molécules du fluide. En
fait, la force totale exercée sur la particule de Brown comprend deux contributions :
• la première est précisément la force de friction −gv. Elle représente la partie lentement
variable dans l’espace et dans le temps de la force totale.
• la seconde est la force aléatoire F(t) que l’on obtient en soustrayant la force de friction
de la force totale. Elle représente donc les fluctuations de la force totale autour de sa
valeur moyenne.
Nous allons considérer un ensemble de systèmes pour lesquels les propriétés macroscopiques sont identiques.
Physique statistique
Remarque. Pour une particule sphérique de rayon R B se déplaçant dans un liquide de
viscosité h avec la vitesse v, on peut montrer que la force de friction −gv est donnée par
la loi de Stockes : −gv = −6phR B v.
L’équation de Newton est déterministe et ne peut décrire la trajectoire erratique de la
particule de Brown. Ceci provient de ce qu’elle néglige les chocs des molécules sur la
particule macroscopique. Lorsque M est très grand comparé à la masse des molécules,
cet effet est bien entendu négligeable et l’équation de Newton décrit parfaitement l’évolution de la particule macroscopique. C’est le cas, par exemple, d’une bille tombant dans
un liquide. Ce n’est par contre pas le cas pour un grain de pollen qui peut être dévié
de manière observable lors d’une collision avec une molécule. Si les chocs ne sont pas
très nombreux, le changement de direction induit peut être facilement observé au microscope : c’est ce qu’a vu le botaniste Robert Brown. Cela se traduit par une impression de
marche au hasard analogue à celle que nous avons décrite dans le chapitre 3.
Une manière simple de décrire le phénomène observé consiste à partir de l’équation
déterministe de Newton et à lui ajouter un terme aléatoire ou stochastique qui traduit une
partie de l’influence des molécules du fluide sur la particule de Brown. Plus précisément,
cette contribution aléatoire, F(t), provient des fluctuations, autour d’une valeur moyenne,
de la résultante des forces des molécules s’exerçant sur la particule de Brown. Ce terme
stochastique, F(t), est ajouté dans le second membre de l’équation de Newton et l’on
obtient :
M
dv
dt
= F − gv + F(t)
(47)
Chaque collision entre une molécule et la particule de Brown conduit à une déflexion
de cette dernière. Ces collisions sont aléatoires en position, en direction, en intensité et
en temps. Compte tenu du grand nombre de molécules présentes dans le fluide, on ne
peut pas prédire exactement l’effet de ces collisions sur la particule macroscopique. Par
contre, on peut caractériser la force aléatoire F(t) par un certain nombre de propriétés
statistiques. L’équation (47) n’est alors plus déterministe mais stochastique. Elle est dénommée équation de Langevin du nom du physicien qui l’a proposée pour la première
fois en 1908. L’idée est donc de faire des hypothèses statistiques raisonnables sur la
nature de la force stochastique F(t). C’est ce que nous allons examiner maintenant.
Remarque. La force de friction, −gv, provient également des molécules du fluide. En
fait, la force totale exercée sur la particule de Brown comprend deux contributions :
• la première est précisément la force de friction −gv. Elle représente la partie lentement
variable dans l’espace et dans le temps de la force totale.
• la seconde est la force aléatoire F(t) que l’on obtient en soustrayant la force de friction
de la force totale. Elle représente donc les fluctuations de la force totale autour de sa
valeur moyenne.
Nous allons considérer un ensemble de systèmes pour lesquels les propriétés macroscopiques sont identiques.