13 • Phénomènes de transport
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Il existe une classe particulière de processus markoviens qui jouent un rôle important
en physique. Il s’agit des processus markoviens stationnaires qui sont définis comme
ceux pour lesquels la probabilité de transition ne dépend que de la différence t 1 − t 2 et
non du temps t 1 auquel se produit la transition :
W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) ≡ W(x 2 |x 1 , t 2 − t 1 )
(45)
13.5 ÉQUATION DE LANGEVIN
Nous allons revenir sur le problème du mouvement Brownien que nous avons déjà évoqué dans la section 3.6.1 lorsque nous avons introduit la distribution binomiale. Ce phénomène a été découvert en 1827 par le botaniste Robert Brown alors qu’il observait le
mouvement de grains de pollen dispersés dans l’eau. Il s’aperçut que ceux-ci avaient
une trajectoire très erratique mais ne put proposer une explication correcte de son observation. Einstein a donné, en 1905, l’interprétation de ce phénomène qui a pour origine
les collisions des molécules du liquide sur les grains de pollen. Plus généralement, le
mouvement Brownien est observé lorsqu’une particule macroscopique de petite taille
(quelques microns pour fixer les idées) est immergée dans un fluide (liquide ou gaz) en
équilibre thermique. Comme nous allons le voir, il existe une étroite relation entre dissipation et fluctuations ; le mouvement Brownien en est une excellente illustration. Nous
allons maintenant donner quelques idées simples sur ce sujet.
Considérons une particule macroscopique de masse M (particule de Brown) immergée dans un liquide à la température T. Nous allons nous restreindre à un mouvement à
une dimension car cela suffit pour introduire toutes les idées importantes tout en conservant des développements mathématiques simples. Soit x(t) la position de la particule de
Brown ; sa vitesse vaut v =
·
x=
dx
dt
. Au niveau macroscopique, elle est soumise à 2 forces :
• la première, F(t), provient du champ extérieur appliqué. Ce peut être, avec un signe
approprié qui dépend de l’orientation de l’axe de référence, le champ de pesanteur
(F(t) = Mg, où g est l’accélération de la pesanteur ; F(t) = eE, où e et E sont, respectivement, la charge électrique de la particule et le champ électrique appliqué, etc.).
• la seconde est une force de friction qui s’oppose au mouvement de la particule de
Brown dans le fluide. Dans le cas d’un liquide, on peut souvent l’écrire comme étant
proportionnelle à la vitesse et de direction opposée à celle-ci. Cette force de friction tend
à réduire la vitesse de la particule de Brown.
Compte tenu de ces deux contributions, l’équation de Newton, qui décrit l’évolution
de la particule de Brown en mécanique classique, s’écrit :
M
dv
dt
= F − gv
(46)
où la quantité g est le coefficient de friction que nous supposerons constant.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Il existe une classe particulière de processus markoviens qui jouent un rôle important
en physique. Il s’agit des processus markoviens stationnaires qui sont définis comme
ceux pour lesquels la probabilité de transition ne dépend que de la différence t 1 − t 2 et
non du temps t 1 auquel se produit la transition :
W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) ≡ W(x 2 |x 1 , t 2 − t 1 )
(45)
13.5 ÉQUATION DE LANGEVIN
Nous allons revenir sur le problème du mouvement Brownien que nous avons déjà évoqué dans la section 3.6.1 lorsque nous avons introduit la distribution binomiale. Ce phénomène a été découvert en 1827 par le botaniste Robert Brown alors qu’il observait le
mouvement de grains de pollen dispersés dans l’eau. Il s’aperçut que ceux-ci avaient
une trajectoire très erratique mais ne put proposer une explication correcte de son observation. Einstein a donné, en 1905, l’interprétation de ce phénomène qui a pour origine
les collisions des molécules du liquide sur les grains de pollen. Plus généralement, le
mouvement Brownien est observé lorsqu’une particule macroscopique de petite taille
(quelques microns pour fixer les idées) est immergée dans un fluide (liquide ou gaz) en
équilibre thermique. Comme nous allons le voir, il existe une étroite relation entre dissipation et fluctuations ; le mouvement Brownien en est une excellente illustration. Nous
allons maintenant donner quelques idées simples sur ce sujet.
Considérons une particule macroscopique de masse M (particule de Brown) immergée dans un liquide à la température T. Nous allons nous restreindre à un mouvement à
une dimension car cela suffit pour introduire toutes les idées importantes tout en conservant des développements mathématiques simples. Soit x(t) la position de la particule de
Brown ; sa vitesse vaut v =
·
x=
dx
dt
. Au niveau macroscopique, elle est soumise à 2 forces :
• la première, F(t), provient du champ extérieur appliqué. Ce peut être, avec un signe
approprié qui dépend de l’orientation de l’axe de référence, le champ de pesanteur
(F(t) = Mg, où g est l’accélération de la pesanteur ; F(t) = eE, où e et E sont, respectivement, la charge électrique de la particule et le champ électrique appliqué, etc.).
• la seconde est une force de friction qui s’oppose au mouvement de la particule de
Brown dans le fluide. Dans le cas d’un liquide, on peut souvent l’écrire comme étant
proportionnelle à la vitesse et de direction opposée à celle-ci. Cette force de friction tend
à réduire la vitesse de la particule de Brown.
Compte tenu de ces deux contributions, l’équation de Newton, qui décrit l’évolution
de la particule de Brown en mécanique classique, s’écrit :
M
dv
dt
= F − gv
(46)
où la quantité g est le coefficient de friction que nous supposerons constant.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.