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Physique statistique
grâce à cette expression, l’énergie cinétique moyenne <
1
2 Mv(t) 2 > de la particule de
Brown :
<
Mv(t) 2
2
> =
M
2
t
0
e
−
g
M
(t − t)
F(t) dt
t
0
e
−
g
M
(t − t
)
F(t
) dt
=
M
2
t
0
t
0
e
−
g
M
(t − t)
F(t) e
−
g
M
(t − t
)
F(t
) dt dt
(52)
Elle doit, bien entendu, être évaluée au même temps t. Cette expression fait intervenir
le moment d’ordre 2 de F. La moyenne sur l’ensemble des macroétats (donc sur des
systèmes différents ayant les mêmes propriétés macroscopiques) et l’intégration sur le
temps sont deux opérations indépendantes que l’on peut permuter. On obtient alors :
<
1
2
Mv(t)
2
>=
M
2
e
−2
g
M
t
t
0
t
0
e
g
M
(t + t
)
F(t) F(t
)
dt dt
(53)
Soit, en utilisant l’expression (48) de la fonction de corrélation pour effectuer l’une des
intégrations sur le temps :
<
1
2
Mv(t)
2
> = C
M
2
e
−2
g
M
t
t
0
t
0
e
g
M
(t + t
)
d(t − t
) dt dt
= C
M
2
e
−2
g
M
t
t
0
e
2
g
M
t
dt = C
M 2
4g
1 − e
−2
g
M
t
(54)
Pour les grandes valeurs de t qui nous intéressent ici (t M/g), on atteint un état
stationnaire (e
−2
g
M
t → 0) et :
<
1
2
Mv(t)
2
>= C
M 2
4g
(55)
Ce résultat a été obtenu avec l’équation de Langevin. Nous allons maintenant utiliser le
fait que la particule de Brown est en équilibre statistique avec les molécules du milieu
qui jouent le rôle d’un thermostat à la température T. Comme nous n’avons pas d’énergie
potentielle et que le système a un seul degré de liberté, on peut lui appliquer le théorème
d’équipartition de l’énergie. On trouve alors :
<
1
2
Mv(t)
2
>=
1
2
kT
(56)
Soit, en comparant (55) et (56) :
C =
2g
M 2 kT
(57)
La constante C, qui caractérise les fluctuations du système car elle entre dans la fonction
de corrélation, est directement reliée, par l’équation ci-dessus, au coefficient de friction g. Ce dernier caractérise la dissipation du système. L’équation (57) exprime le lien
profond qui existe entre la dissipation et les fluctuations du système. C’est une forme