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Physique statistique
Bien que toutes ces lois de conservation introduisent des quantités physiques importantes, elles ne donnent pas les moyens de les calculer à partir des quantités microscopiques. Il faut donc, soit résoudre l’équation de Boltzmann, ce qui est une tâche extrêmement difficile même de manière approchée, soit utiliser des lois phénoménologiques
pour déduire ces quantités.
13.3 LINÉARISATION DE L’ÉQUATION DE BOLTZMANN
Les équations qui expriment la conservation de la masse (19), de l’impulsion (28) et
de l’énergie sont obtenues sans aucune approximation à partir de l’équation de Boltzmann. Néanmoins, elles nécessitent de définir de nouvelles quantités qui sont le tenseur de pression (24), le flux de chaleur, etc.. Ces dernières doivent être exprimées en
fonction des paramètres macroscopiques qui sont la vitesse hydrodynamique, la densité et la température du système. Il faut, pour faire cela, connaître la fonction de distribution f (r, v, t), c’est à dire résoudre l’équation de Boltzmann. Sauf pour des cas
académiques, cette résolution ne peut se faire qu’avec des approximations. Elles sont
nombreuses et nous n’allons donner ici que quelques notions très sommaires sur ce sujet.
La difficulté pour résoudre l’équation de Boltzmann provient de ce que c’est une équation intégrodifférentielle non linéaire. En effet, il intervient à la fois des dérivées et des
intégrales de la fonction de distribution f (r, v, t), et le terme de collisions est non linéaire.
Les approximations les plus usuelles sont basées sur le fait que cette équation décrit le
retour vers l’équilibre d’un système qui souvent a été faiblement perturbé. Dans ce cas
l’idée est de linéariser le problème.
Les hypothèses simplificatrices qui sont habituellement faites sont basées sur la notion
d’équilibre local. Cela suppose, et ceci est confirmé dans bon nombre de cas, que l’équilibre dans l’espace des vitesses est atteint bien avant celui dans l’espace des positions.
Cela signifie que les particules situées dans un élément de volume dr dv sont dans une
configuration qui tend très rapidement et de manière monotone vers une distribution de
Maxwell. L’approche de l’équilibre dans l’espace des positions est beaucoup plus lent et
cette évolution n’est en général pas monotone. La notion d’équilibre local signifie que la
température d’équilibre T dépend de la position r.
• Une première approximation est la méthode de relaxation dans laquelle on suppose
que f (r, v, t) tend vers une fonction de distribution d’équilibre f (0) (r, v, t) en un temps de
l’ordre de t. L’idée est alors de remplacer le terme de collisions par −
f − f (0)
t
. L’équation de Boltzmann ainsi transformée devient :
∂f
∂t
+ v ·
∂f
∂r
+
F
m
·
∂f
∂v
= −
f − f (0)
t
(29)
C’est une équation différentielle linéaire, donc plus facile à résoudre.
Physique statistique
Bien que toutes ces lois de conservation introduisent des quantités physiques importantes, elles ne donnent pas les moyens de les calculer à partir des quantités microscopiques. Il faut donc, soit résoudre l’équation de Boltzmann, ce qui est une tâche extrêmement difficile même de manière approchée, soit utiliser des lois phénoménologiques
pour déduire ces quantités.
13.3 LINÉARISATION DE L’ÉQUATION DE BOLTZMANN
Les équations qui expriment la conservation de la masse (19), de l’impulsion (28) et
de l’énergie sont obtenues sans aucune approximation à partir de l’équation de Boltzmann. Néanmoins, elles nécessitent de définir de nouvelles quantités qui sont le tenseur de pression (24), le flux de chaleur, etc.. Ces dernières doivent être exprimées en
fonction des paramètres macroscopiques qui sont la vitesse hydrodynamique, la densité et la température du système. Il faut, pour faire cela, connaître la fonction de distribution f (r, v, t), c’est à dire résoudre l’équation de Boltzmann. Sauf pour des cas
académiques, cette résolution ne peut se faire qu’avec des approximations. Elles sont
nombreuses et nous n’allons donner ici que quelques notions très sommaires sur ce sujet.
La difficulté pour résoudre l’équation de Boltzmann provient de ce que c’est une équation intégrodifférentielle non linéaire. En effet, il intervient à la fois des dérivées et des
intégrales de la fonction de distribution f (r, v, t), et le terme de collisions est non linéaire.
Les approximations les plus usuelles sont basées sur le fait que cette équation décrit le
retour vers l’équilibre d’un système qui souvent a été faiblement perturbé. Dans ce cas
l’idée est de linéariser le problème.
Les hypothèses simplificatrices qui sont habituellement faites sont basées sur la notion
d’équilibre local. Cela suppose, et ceci est confirmé dans bon nombre de cas, que l’équilibre dans l’espace des vitesses est atteint bien avant celui dans l’espace des positions.
Cela signifie que les particules situées dans un élément de volume dr dv sont dans une
configuration qui tend très rapidement et de manière monotone vers une distribution de
Maxwell. L’approche de l’équilibre dans l’espace des positions est beaucoup plus lent et
cette évolution n’est en général pas monotone. La notion d’équilibre local signifie que la
température d’équilibre T dépend de la position r.
• Une première approximation est la méthode de relaxation dans laquelle on suppose
que f (r, v, t) tend vers une fonction de distribution d’équilibre f (0) (r, v, t) en un temps de
l’ordre de t. L’idée est alors de remplacer le terme de collisions par −
f − f (0)
t
. L’équation de Boltzmann ainsi transformée devient :
∂f
∂t
+ v ·
∂f
∂r
+
F
m
·
∂f
∂v
= −
f − f (0)
t
(29)
C’est une équation différentielle linéaire, donc plus facile à résoudre.