13 • Phénomènes de transport
283
• Une deuxième approche concerne les situations dans lesquelles le système est proche
d’un équilibre global en l’absence de champ extérieur (U (r) = 0). Dans ce cas :
˜
f
(0) = n
m
2pkT
3/2
exp
−
mv 2
2kT
(30)
où la densité de particules n et la température T sont constants. On suppose alors que la
distribution réelle peut s’écrire sous la forme :
f = ˜
f
(0) [1 + g(r, v, t)]
(31)
où g(r, v, t) est petit devant 1. En reportant cette expression dans l’équation de Boltzmann (équation 12.83), on peut montrer que :
Dg =
dv 1
dV s v rel (g
+ g
1 − g − g 1 )f
(0)
1
(32)
On obtient ainsi une équation intégrodifférentielle linéaire par rapport à g(r, v, t) (nous
utilisons la même notation qu’en (14)).
• Une troisième approximation est connue sous le nom de développement de ChapmanEnskog. Elle suppose qu’il y a équilibre local des vitesses en chaque point de l’espace.
Ce dernier est décrit par la distribution de Maxwell :
f
(0) (r, v, t) = n
m
2pkT
3/2
exp
−
1
2
m(v − u) 2
2kT
(33)
où les variables macroscopiques n, u et T dépendent de la position r et du temps t. Notre
but est de calculer la relaxation des variables macroscopiques. Celle-ci est beaucoup plus
lente que la relaxation qui conduit à l’équilibre local. On pose pour cela :
f = f
(0) [1 + f(r, v, t)]
(34)
où f(r, v, t) est une quantité petite devant l’unité. Pour le premier membre de l’équation
de Boltzmann on a :
Df ≈ Df
(0)
(35)
Pour le terme de collisions, on obtient, en se limitant aux termes du premier ordre, une
expression analogue à (32), ce qui conduit finalement à :
Df
(0) =
dv 1 f
(0)
1
dVsv rel (f
+ f
1 − f − f 1 )
(36)
C’est une équation intégrale inhomogène. En effet, la forme de f (0) est connue. Par conséquent, on peut évaluer le premier membre de (36). Cette équation est maintenant linéaire
bien qu’elle soit encore très difficile à résoudre dans la pratique.
Si l’on se restreint à l’ordre zéro (f = ˜
f (0) , la distribution d’équilibre), l’équation de
Boltzmann ne conduit à aucun phénomène dissipatif. À l’ordre un, il y a dissipation
et ceci permet d’introduire et de calculer deux coefficients de transport : la viscosité
du fluide et sa conductivité thermique. Les équations hydrodynamiques obtenues dans le
cadre du développement de Chapman-Enskog sont alors les équations de Navier Stockes.
Elles font intervenir de manière explicite la viscosité du fluide.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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• Une deuxième approche concerne les situations dans lesquelles le système est proche
d’un équilibre global en l’absence de champ extérieur (U (r) = 0). Dans ce cas :
˜
f
(0) = n
m
2pkT
3/2
exp
−
mv 2
2kT
(30)
où la densité de particules n et la température T sont constants. On suppose alors que la
distribution réelle peut s’écrire sous la forme :
f = ˜
f
(0) [1 + g(r, v, t)]
(31)
où g(r, v, t) est petit devant 1. En reportant cette expression dans l’équation de Boltzmann (équation 12.83), on peut montrer que :
Dg =
dv 1
dV s v rel (g
+ g
1 − g − g 1 )f
(0)
1
(32)
On obtient ainsi une équation intégrodifférentielle linéaire par rapport à g(r, v, t) (nous
utilisons la même notation qu’en (14)).
• Une troisième approximation est connue sous le nom de développement de ChapmanEnskog. Elle suppose qu’il y a équilibre local des vitesses en chaque point de l’espace.
Ce dernier est décrit par la distribution de Maxwell :
f
(0) (r, v, t) = n
m
2pkT
3/2
exp
−
1
2
m(v − u) 2
2kT
(33)
où les variables macroscopiques n, u et T dépendent de la position r et du temps t. Notre
but est de calculer la relaxation des variables macroscopiques. Celle-ci est beaucoup plus
lente que la relaxation qui conduit à l’équilibre local. On pose pour cela :
f = f
(0) [1 + f(r, v, t)]
(34)
où f(r, v, t) est une quantité petite devant l’unité. Pour le premier membre de l’équation
de Boltzmann on a :
Df ≈ Df
(0)
(35)
Pour le terme de collisions, on obtient, en se limitant aux termes du premier ordre, une
expression analogue à (32), ce qui conduit finalement à :
Df
(0) =
dv 1 f
(0)
1
dVsv rel (f
+ f
1 − f − f 1 )
(36)
C’est une équation intégrale inhomogène. En effet, la forme de f (0) est connue. Par conséquent, on peut évaluer le premier membre de (36). Cette équation est maintenant linéaire
bien qu’elle soit encore très difficile à résoudre dans la pratique.
Si l’on se restreint à l’ordre zéro (f = ˜
f (0) , la distribution d’équilibre), l’équation de
Boltzmann ne conduit à aucun phénomène dissipatif. À l’ordre un, il y a dissipation
et ceci permet d’introduire et de calculer deux coefficients de transport : la viscosité
du fluide et sa conductivité thermique. Les équations hydrodynamiques obtenues dans le
cadre du développement de Chapman-Enskog sont alors les équations de Navier Stockes.
Elles font intervenir de manière explicite la viscosité du fluide.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.