13 • Phénomènes de transport
281
deux (un vecteur est un tenseur d’ordre un et un scalaire un tenseur d’ordre zéro) et sa
représentation est une matrice 3×3. Il a donc 9 composantes (rappelons qu’un vecteur a
trois composantes) ; elles sont obtenues en faisant varier les indices a et b de manière
indépendante. On l’appelle le tenseur de pression :
P aj = rw a w j
(24)
Il est symétrique (P aj = P ja ). Jusqu’ici, lorsque nous avons parlé de pression, c’était une
quantité scalaire car nous nous étions limités aux phénomènes à l’équilibre. La pression
scalaire est reliée au tenseur de pression par la relation :
P scalaire =
1
3
Tr(P aj ) =
1
3
P xx + P yy + P zz
(25)
C’est le tiers de la trace du tenseur de pression. La pression résulte du mouvement des
particules du gaz et ne contient aucune contribution des forces entre les particules. Pour
ces dernières, nous n’avons tenu compte que des collisions entre les particules qui se
produisent lorsqu’elles s’approchent trop près l’une de l’autre. Étudions de plus près le
premier membre de l’équation (23). On peut effectuer les simplifications suivantes :
∂
∂t
ru j
+
∂
∂r a
ru a u j = u j
∂r
∂t
+ r
∂u j
∂t
+ u j
∂
∂r a
(ru a ) + (ru a )
∂u j
∂r a
= u j
∂r
∂t
+
∂
∂r a
(ru a )
+ r
∂u j
∂t
+ u a
∂u j
∂r a
(26)
Le premier terme entre crochets est nul car ce n’est autre que le premier membre de
l’équation de continuité. Pour le second terme entre crochets, il est d’usage, en hydrodynamique, d’introduire la dérivée en suivant le mouvement définie comme :
d
dt
=
∂
∂t
+ u a
∂
∂r a
=
∂
∂t
+ u
∂
∂r
=
∂
∂t
+ u∇
(27)
L’équation (23) s’écrit alors :
r
du j
dt
= −
∂P aj
∂r a
+ rF
j
(28)
L’équation ci-dessus est connue sous le nom d’équation d’Euler. Elle exprime le changement moyen d’impulsion d’un petit élément de volume dû au fluide qui l’entoure.
L’équation de continuité et l’équation d’Euler sont des équations fondamentales en hydrodynamique. Nous les avons obtenues ici à partir de l’équation de Boltzmann qui n’est
valable que pour des gaz dilués mais elles ont un champ d’application beaucoup plus général comme celui des liquides.
Remarque. On pourrait prendre pour la quantité Q l’énergie cinétique d’une particule
(Q =
1
2 mv
2 ). On obtiendrait, par des calculs plus lourds que précédemment, une équation
locale de conservation de l’énergie. De même que la conservation locale de l’impulsion
nous a amené à introduire le tenseur de pression, nous serions amenés à introduire une
densité d’énergie thermique, une densité de courant d’énergie et un tenseur de contraintes.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
281
deux (un vecteur est un tenseur d’ordre un et un scalaire un tenseur d’ordre zéro) et sa
représentation est une matrice 3×3. Il a donc 9 composantes (rappelons qu’un vecteur a
trois composantes) ; elles sont obtenues en faisant varier les indices a et b de manière
indépendante. On l’appelle le tenseur de pression :
P aj = rw a w j
(24)
Il est symétrique (P aj = P ja ). Jusqu’ici, lorsque nous avons parlé de pression, c’était une
quantité scalaire car nous nous étions limités aux phénomènes à l’équilibre. La pression
scalaire est reliée au tenseur de pression par la relation :
P scalaire =
1
3
Tr(P aj ) =
1
3
P xx + P yy + P zz
(25)
C’est le tiers de la trace du tenseur de pression. La pression résulte du mouvement des
particules du gaz et ne contient aucune contribution des forces entre les particules. Pour
ces dernières, nous n’avons tenu compte que des collisions entre les particules qui se
produisent lorsqu’elles s’approchent trop près l’une de l’autre. Étudions de plus près le
premier membre de l’équation (23). On peut effectuer les simplifications suivantes :
∂
∂t
ru j
+
∂
∂r a
ru a u j = u j
∂r
∂t
+ r
∂u j
∂t
+ u j
∂
∂r a
(ru a ) + (ru a )
∂u j
∂r a
= u j
∂r
∂t
+
∂
∂r a
(ru a )
+ r
∂u j
∂t
+ u a
∂u j
∂r a
(26)
Le premier terme entre crochets est nul car ce n’est autre que le premier membre de
l’équation de continuité. Pour le second terme entre crochets, il est d’usage, en hydrodynamique, d’introduire la dérivée en suivant le mouvement définie comme :
d
dt
=
∂
∂t
+ u a
∂
∂r a
=
∂
∂t
+ u
∂
∂r
=
∂
∂t
+ u∇
(27)
L’équation (23) s’écrit alors :
r
du j
dt
= −
∂P aj
∂r a
+ rF
j
(28)
L’équation ci-dessus est connue sous le nom d’équation d’Euler. Elle exprime le changement moyen d’impulsion d’un petit élément de volume dû au fluide qui l’entoure.
L’équation de continuité et l’équation d’Euler sont des équations fondamentales en hydrodynamique. Nous les avons obtenues ici à partir de l’équation de Boltzmann qui n’est
valable que pour des gaz dilués mais elles ont un champ d’application beaucoup plus général comme celui des liquides.
Remarque. On pourrait prendre pour la quantité Q l’énergie cinétique d’une particule
(Q =
1
2 mv
2 ). On obtiendrait, par des calculs plus lourds que précédemment, une équation
locale de conservation de l’énergie. De même que la conservation locale de l’impulsion
nous a amené à introduire le tenseur de pression, nous serions amenés à introduire une
densité d’énergie thermique, une densité de courant d’énergie et un tenseur de contraintes.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.