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Physique statistique
13.2 LOIS LOCALES DE CONSERVATION
Nous allons appliquer l’équation d’Enskog au cas où Q = m. On a alors DQ = 0 et
C(Q) = 0. Puisque m est une constante, Dm = 0 et l’on obtient :
m
∂n
∂t
+ m
∂
∂r a
n v a = 0
(18)
Pour trouver une forme plus explicite de cette équation remarquons que :
• la masse volumique du gaz r(r, t) est reliée au nombre moyen de particules par unité
de volume n(r, t) par r(r, t) = m n(r, t).
• la vitesse moyenne v = u a été définie dans la section 12.5 (équation 12.35). Elle est
appelée vitesse hydrodynamique.
•
∂
∂r a
(ru a ) = div ru. En effet,
∂
∂r a
(ru a ) =
∂
∂x
ru x +
∂
∂y
ru y +
∂
∂z
ru z = div ru.
On trouve donc :
∂r(r, t)
∂t
+ div
r(r, t) u(r, t)
= 0
(19)
Cette équation est connue sous le nom d’équation de continuité. Elle exprime la conservation locale de la masse.
Si maintenant nous prenons pour Q une des composantes de l’impulsion Q = mv j , par
exemple, l’équation (17) devient :
∂
∂t
n mv j = nm Dv j − m
∂
∂r a
nv a v j
(20)
Car DQ = 0 par suite de la conservation de l’impulsion. Puisque t, r a et v a sont des
variables indépendantes, le terme Dv j se réduit à :
Dv j =
F a
m
∂v j
∂v a
=
F a
m
d ja =
F j
m
= F
j
(21)
où d ja = 1 si j = a et 0 dans le cas contraire. Nous avons introduit la force par unité de
masse F
a . Par conséquent, (20) devient :
∂
∂t
ru j
+
∂
∂r a
r v a v j = rF
j
(22)
Pour évaluer le second terme du premier membre, il est commode d’introduire la vitesse
hydrodynamique u et la déviation autour de celle-ci : w = v − u. Il vient alors :
v a v j = (u a + w a )(u j + w j ) = (u a u j + u a w j + w a u j + w a w j )
= u a u j + u a w j + u j w a + w a w j = u a u j + w a w j
puisque w a = w j = 0 par définition (u = v). L’équation (22) peut s’écrire sous la forme :
∂
∂t
ru j
+
∂
∂r a
ru a u j = −
∂(r w a w j )
∂r a
+ rF
j
(23)
La quantité rw a w j est un objet mathématique particulier qui s’appelle un tenseur. C’est
la généralisation d’un vecteur. Pour le cas que nous considérons ici, ce tenseur est d’ordre