13 • Phénomènes de transport
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Dans les transformations que nous avons citées, l’élément de volume dv dv 1 dv dv
1
restera invariant car il correspond à un simple réarrangement de l’ordre des produits.
Il en est de même de la vitesse relative par suite de la conservation de l’énergie et de
l’impulsion :
v rel =| v − v 1 |=| v 1 − v |=| v
− v
1 |=| v
1 − v
|
(13)
Pour simplifier les notations, nous poserons :
Q = Q(r, v,t) Q = Q(r, v ,t)
Q 1 = Q(r, v 1 ,t) Q
1 = Q(r, v
1 ,t)
(14)
Nous avons respectivement pour les transformations que nous venons de définir :
1. ( f
1 f − f 1 f ) v rel s (v 1 , v → v
1 , v ) = ( f f
1 − f f 1 ) v rel s (v, v 1 → v , v
1 )
2. ( f f 1 − f f
1 ) v rel s (v , v
1 → v, v 1 ) = −( f f
1 − f f 1 )v rel s (v, v 1 → v , v
1 )
3. ( f 1 f − f
1 f ) v rel s (v
1 , v → v 1 , v) = −( f f
1 − f f 1 )v rel s (v, v 1 → v , v
1 ).
Dans la suite, nous poserons s = s (v, v 1 → v , v
1 ). Compte tenu des relations citées
ci-dessus, on peut écrire :
C(Q) =
I Q dv
=
1
4
dv dv 1 dv
dv
1 ( f
f
1 − f f 1 ) v rel s
×
Q
+ Q
1 − Q − Q 1
=
1
4
dv dv 1 dv
dv
1 ( f
f
1 − f f 1 ) v rel s
DQ
(15)
La quantité DQ = (Q + Q
1 − Q − Q 1 ) représente la variation de la quantité Q au cours
de la collision de deux particules.
On peut aussi obtenir une expression plus simple en remarquant que l’on a
C(Q) =
1
2
dv dv 1 dv
dv
1 ( f
f
1 − f f 1 ) v rel s
(Q + Q 1 )
= −
1
2
dv
dv
1 dv dv 1 ( f f 1 − f
f
1 ) v rel s
(Q + Q 1 )
(16)
En utilisant (11) et (15) dans (2) on obtient l’équation d’Enskog :
∂
∂t
nQ = nDQ −
∂
∂r a
nv a Q + C(Q)
(17)
où C(Q) est donné par (15) ou (16).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.