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Physique statistique
se traduit dans notre cas par :
s
(v
, v
1 → v, v 1 ) = s
(v, v 1 → v
, v
1 )
(78)
Les vitesses relatives v rel = v − v 1 et v
rel
= v −v
1 sont reliées entre elles par la loi de
conservation de l’énergie :
|v rel | = |v
rel
| = v rel
(79)
Posons, pour alléger les notations :
f = f (r, v, t) f 1 = f (r, v 1 , t)
f = f (r, v , t) f
1 = f (r, v
1 , t)
(80)
Le terme de collisions devient alors :
I
(+)
− I
(−) =
v
1
v
v 1
v rel
f
f
1 − ff 1
s
(v, v 1 → v
, v
1 ) dv
dv 1 dv
1
(81)
Finalement, l’équation de Boltzmann s’écrit :
Df (r, v, t) =
∂f (r, v, t)
∂t
+ v.
∂f (r, v, t)
∂r
+
F
m
.
∂f (r, v, t)
∂v
(82)
=
v
1
v
v 1
v rel
f
f
1 − ff 1
s
( v, v 1 → v
, v
1 ) dv
dv 1 dv
1
Le terme de collisions peut être simplifié en faisant intervenir la section efficace différentielle s(V ) plutôt que s (v, v 1 → v , v
1 ). Pour cela on passe des variables (v
1 , v
1 )
aux variables (V , v
rel ). L’intégrale multiple relative à ces variables devient alors, compte
tenu des relations (65) :
v
v
1
. . . dv
dv
1 =
V
v
rel
V
. . . dV
v
2
rel dv
rel dV
(83)
Pour tenir compte de la conservation de l’énergie et de l’impulsion, le plus simple est
d’introduire le produit d(V − V
)d(v rel −v
rel ). En tenant compte de ceci, voyons comment
les termes de collision I (−) et I (−) se transforment. Pour I (−) nous avons :
I
(−) = −
v 1
V
v
rel
V
ff 1 v
rel s
d(V − V
)d(v rel − v
rel )dv 1 dV
v
2
rel dv
rel dV
=
v 1
V
ff 1 v rel s(v
rel ) dv 1 dV
(84)
car f et f 1 dépendent de v et v 1 et non de V et v
rel .
La situation pour I (+) est un peu plus complexe car f et f
1 dépendent de v et v
1 .
Toutefois, on peut remarquer que f et f
1 ne peuvent dépendre explicitement de V car
tout mouvement de translation d’ensemble du système ne doit pas en changer ses propriétés : la physique est invariante par translation. D’autre part, f et f
1 ne peuvent pas
dépendre explicitement du module de la vitesse relative v
rel . En effet, les particules associées sont complètement décorrélées par suite de l’hypothèse de chaos moléculaire. Ces
Physique statistique
se traduit dans notre cas par :
s
(v
, v
1 → v, v 1 ) = s
(v, v 1 → v
, v
1 )
(78)
Les vitesses relatives v rel = v − v 1 et v
rel
= v −v
1 sont reliées entre elles par la loi de
conservation de l’énergie :
|v rel | = |v
rel
| = v rel
(79)
Posons, pour alléger les notations :
f = f (r, v, t) f 1 = f (r, v 1 , t)
f = f (r, v , t) f
1 = f (r, v
1 , t)
(80)
Le terme de collisions devient alors :
I
(+)
− I
(−) =
v
1
v
v 1
v rel
f
f
1 − ff 1
s
(v, v 1 → v
, v
1 ) dv
dv 1 dv
1
(81)
Finalement, l’équation de Boltzmann s’écrit :
Df (r, v, t) =
∂f (r, v, t)
∂t
+ v.
∂f (r, v, t)
∂r
+
F
m
.
∂f (r, v, t)
∂v
(82)
=
v
1
v
v 1
v rel
f
f
1 − ff 1
s
( v, v 1 → v
, v
1 ) dv
dv 1 dv
1
Le terme de collisions peut être simplifié en faisant intervenir la section efficace différentielle s(V ) plutôt que s (v, v 1 → v , v
1 ). Pour cela on passe des variables (v
1 , v
1 )
aux variables (V , v
rel ). L’intégrale multiple relative à ces variables devient alors, compte
tenu des relations (65) :
v
v
1
. . . dv
dv
1 =
V
v
rel
V
. . . dV
v
2
rel dv
rel dV
(83)
Pour tenir compte de la conservation de l’énergie et de l’impulsion, le plus simple est
d’introduire le produit d(V − V
)d(v rel −v
rel ). En tenant compte de ceci, voyons comment
les termes de collision I (−) et I (−) se transforment. Pour I (−) nous avons :
I
(−) = −
v 1
V
v
rel
V
ff 1 v
rel s
d(V − V
)d(v rel − v
rel )dv 1 dV
v
2
rel dv
rel dV
=
v 1
V
ff 1 v rel s(v
rel ) dv 1 dV
(84)
car f et f 1 dépendent de v et v 1 et non de V et v
rel .
La situation pour I (+) est un peu plus complexe car f et f
1 dépendent de v et v
1 .
Toutefois, on peut remarquer que f et f
1 ne peuvent dépendre explicitement de V car
tout mouvement de translation d’ensemble du système ne doit pas en changer ses propriétés : la physique est invariante par translation. D’autre part, f et f
1 ne peuvent pas
dépendre explicitement du module de la vitesse relative v
rel . En effet, les particules associées sont complètement décorrélées par suite de l’hypothèse de chaos moléculaire. Ces