12 • L’équation de Boltzmann
263
deux remarques permettent d’intégrer par rapport à V et à v
rel et d’obtenir :
I
(+) =
v 1
V
v
rel
V
f
f
1 v
rel s
d(V − V
)d(v rel − v
rel )dv 1 dV
v
2
rel dv
rel dV
=
v 1
V
f
f
1 v rel s(v
rel ) dv 1 dV
(85)
ce qui conduit à l’équation de Boltzmann :
∂f
∂t
+ v·
∂f
∂r
+
F
m
·
∂f
∂v
=
v 1
V
f
f
1 − ff 1
v rel s(V
) dV
dv 1
(86)
L’équation de Boltzmann est une équation intégrodifférentielle non linéaire que l’on ne
peut pas résoudre analytiquement dans le cas général. On peut néanmoins en trouver des
solutions numériques approchées mais ces études sont très complexes. L’équation de
Boltzmann n’est pas invariante par renversement du temps ce qui signifie qu’elle décrit
un processus irréversible. Ceci peut paraître très étonnant car elle est basée sur les équations du mouvement de la mécanique classique qui sont réversibles. Cette irréversibilité
a fait le succès de l’équation de Boltzmann mais a aussi posé de nombreux problèmes
de compréhension dont tous ne sont pas encore résolus à l’heure actuelle. Elle résulte de
l’hypothèse de chaos moléculaire qui crée une perte d’information au cours du temps.
Il est intéressant de relier la section efficace s(v
rel ) au paramètre d’impact b de la
collision introduit dans la section 12.2.3. En effet (figure 3), lorsque le processus de
collision résulte d’un potentiel central U(r), l’angle de déflexion ne dépend que du paramètre d’impact b. Si F est le flux de particules incidentes, on a Fs(v
rel )dV = Fb db df
car tous les projectiles qui sont défléchis dans la direction dV sont passés dans l’élément
de surface b db df.
b
db
dφ
θ
φ
Figure 12.3
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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deux remarques permettent d’intégrer par rapport à V et à v
rel et d’obtenir :
I
(+) =
v 1
V
v
rel
V
f
f
1 v
rel s
d(V − V
)d(v rel − v
rel )dv 1 dV
v
2
rel dv
rel dV
=
v 1
V
f
f
1 v rel s(v
rel ) dv 1 dV
(85)
ce qui conduit à l’équation de Boltzmann :
∂f
∂t
+ v·
∂f
∂r
+
F
m
·
∂f
∂v
=
v 1
V
f
f
1 − ff 1
v rel s(V
) dV
dv 1
(86)
L’équation de Boltzmann est une équation intégrodifférentielle non linéaire que l’on ne
peut pas résoudre analytiquement dans le cas général. On peut néanmoins en trouver des
solutions numériques approchées mais ces études sont très complexes. L’équation de
Boltzmann n’est pas invariante par renversement du temps ce qui signifie qu’elle décrit
un processus irréversible. Ceci peut paraître très étonnant car elle est basée sur les équations du mouvement de la mécanique classique qui sont réversibles. Cette irréversibilité
a fait le succès de l’équation de Boltzmann mais a aussi posé de nombreux problèmes
de compréhension dont tous ne sont pas encore résolus à l’heure actuelle. Elle résulte de
l’hypothèse de chaos moléculaire qui crée une perte d’information au cours du temps.
Il est intéressant de relier la section efficace s(v
rel ) au paramètre d’impact b de la
collision introduit dans la section 12.2.3. En effet (figure 3), lorsque le processus de
collision résulte d’un potentiel central U(r), l’angle de déflexion ne dépend que du paramètre d’impact b. Si F est le flux de particules incidentes, on a Fs(v
rel )dV = Fb db df
car tous les projectiles qui sont défléchis dans la direction dV sont passés dans l’élément
de surface b db df.
b
db
dφ
θ
φ
Figure 12.3
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.