12 • L’équation de Boltzmann
261
Nous avons supposé ci-dessus que les particules de vitesse v étaient le faisceau incident et que les particules de vitesse v 1 étaient la cible. Une supposition inverse ne
changerait pas le résultat. On obtiendrait en effet :
s
(v, v 1 → v
, v
1 ) dv
dv
1
× [f (r, v, t) dr dv] ×
|v 1 − v| f (r, v 1 , t) dv 1
(75)
c’est à dire, au total, la même chose que précédemment.
Le terme de perte est obtenu en intégrant sur toutes les vitesses v , v
1 et v 1 en respectant les lois de conservation de l’énergie et de l’impulsion au cours de la collision :
I
(−) dr dv =
v
1
v
v 1
s
(v, v 1 → v
, v
1 ) dv
dv
1
× [f (r, v 1 , t) dr dv 1 ] ×
|v − v 1 | f (r, v, t) dv
(76)
Nous avons le terme de perte sous la forme I (−) dr dv car nous considérons l’élément
dr dv de l’espace coordonnées-vitesses. Nous avions fait de même pour déduire l’équation de Boltzmann sans terme de collision (cf. équation 41).
12.9.2 Terme de gain I
(+)
Le calcul du terme de gain se fait de manière analogue. On considère l’élément de volume dr dv et on calcule le nombre de particules qui entrent, par unité de temps, dans dv
après collision. Pour cela, il faut d’abord calculer le nombre de particules par unité de
temps qui conduisent, après collision dans dr, à une particule ayant une vitesse v centrée dans dv. Nous allons pour cela considérer le schéma (v , v
1 → v, v 1 ). Ce nombre,
I (+) dr dv est donné par :
s
(v
, v
1 → v, v 1 ) dv dv 1
×
f (r, v
1 , t) dr dv
1
×
| v
− v
1 | f (r, v
, t) dv
• Le premier terme entre crochet représente le nombre de particules, par unité de temps,
par unité de flux incident et pour une particule cible, qui conduisent à la collision de
deux particules selon (v , v
1 → v, v 1 ).
• Le deuxième terme correspond au nombre de particules cibles (ici les particules de
vitesse v
1 ).
• Le troisième terme correspond au flux incident (ici les projectiles sont les particules
de vitesse v ).
Le terme de gain est obtenu en intégrant sur toutes les vitesses v , v
1 et v 1 en respectant
les lois de conservation de l’énergie et de l’impulsion au cours de la collision :
I
(+) dr dv =
v
1
v
v 1
s
(v
, v
1 → v, v 1 ) dv dv 1
×
f (r, v
1 , t) dr dv
1
×
| v
− v
1 | f (r, v
, t) dv
(77)
12.9.3 Terme de collisions total
Nous avons vu plus haut que l’invariance des lois physiques qui gouvernent la collision
conduit à ce que les sections efficaces directes et inverses sont égales (équation 71). Ceci
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
261
Nous avons supposé ci-dessus que les particules de vitesse v étaient le faisceau incident et que les particules de vitesse v 1 étaient la cible. Une supposition inverse ne
changerait pas le résultat. On obtiendrait en effet :
s
(v, v 1 → v
, v
1 ) dv
dv
1
× [f (r, v, t) dr dv] ×
|v 1 − v| f (r, v 1 , t) dv 1
(75)
c’est à dire, au total, la même chose que précédemment.
Le terme de perte est obtenu en intégrant sur toutes les vitesses v , v
1 et v 1 en respectant les lois de conservation de l’énergie et de l’impulsion au cours de la collision :
I
(−) dr dv =
v
1
v
v 1
s
(v, v 1 → v
, v
1 ) dv
dv
1
× [f (r, v 1 , t) dr dv 1 ] ×
|v − v 1 | f (r, v, t) dv
(76)
Nous avons le terme de perte sous la forme I (−) dr dv car nous considérons l’élément
dr dv de l’espace coordonnées-vitesses. Nous avions fait de même pour déduire l’équation de Boltzmann sans terme de collision (cf. équation 41).
12.9.2 Terme de gain I
(+)
Le calcul du terme de gain se fait de manière analogue. On considère l’élément de volume dr dv et on calcule le nombre de particules qui entrent, par unité de temps, dans dv
après collision. Pour cela, il faut d’abord calculer le nombre de particules par unité de
temps qui conduisent, après collision dans dr, à une particule ayant une vitesse v centrée dans dv. Nous allons pour cela considérer le schéma (v , v
1 → v, v 1 ). Ce nombre,
I (+) dr dv est donné par :
s
(v
, v
1 → v, v 1 ) dv dv 1
×
f (r, v
1 , t) dr dv
1
×
| v
− v
1 | f (r, v
, t) dv
• Le premier terme entre crochet représente le nombre de particules, par unité de temps,
par unité de flux incident et pour une particule cible, qui conduisent à la collision de
deux particules selon (v , v
1 → v, v 1 ).
• Le deuxième terme correspond au nombre de particules cibles (ici les particules de
vitesse v
1 ).
• Le troisième terme correspond au flux incident (ici les projectiles sont les particules
de vitesse v ).
Le terme de gain est obtenu en intégrant sur toutes les vitesses v , v
1 et v 1 en respectant
les lois de conservation de l’énergie et de l’impulsion au cours de la collision :
I
(+) dr dv =
v
1
v
v 1
s
(v
, v
1 → v, v 1 ) dv dv 1
×
f (r, v
1 , t) dr dv
1
×
| v
− v
1 | f (r, v
, t) dv
(77)
12.9.3 Terme de collisions total
Nous avons vu plus haut que l’invariance des lois physiques qui gouvernent la collision
conduit à ce que les sections efficaces directes et inverses sont égales (équation 71). Ceci
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.