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Physique statistique
L’équation de Boltzmann sans collision, Df = 0, exprime la conservation du nombre
de particules dans un élément de volume de l’espace de phase qui se déplace au cours
du temps (dr dv → dr dv lorsque t → t = t + dt). À cause des collisions, certaines
particules vont sortir de cet élément de volume et d’autres y entrer. En effet, une particule dans dr dv peut, après une collision avec une autre particule qui n’appartient pas
à cet élément de volume, en sortir (dr dv → dr dv ). De même, la collision de particules extérieures à dr dv peut conduire à une particule dans cet élément de volume
(dr dv → dr dv). Soit I (−) le terme de perte et I (+) le terme de gain par unité de volume et de vitesse. L’équation cinétique tenant compte des collisions à deux corps est
dénommée équation de Boltzmann. Elle s’écrit sous la forme compacte suivante :
Df (r, v, t) = −I
(−) + I
(+)
(73)
Nous allons maintenant évaluer les termes de perte et de gain. Considérons pour cela les
éléments de volume dr centré en r et dv centré en v. Les quantités dr et dv sont supposés infiniments petites à l’échelle macroscopique afin que l’on puisse les traiter comme
des éléments différentiels au sens mathématique. Ils sont toutefois microscopiquement
grands pour contenir un nombre appréciable de particules (cf. plus haut). L’hypothèse
que nous avons faite sur la variation lente de la fonction de distribution f (r, v, t) est nécessaire pour qu’elle soit pratiquement constante dans dr ou dv. Nous supposons les
particules ponctuelles et l’interaction entre celles-ci de très courte portée. Cela signifie que les collisions ne se produiront que si les particules sont pratiquement au même
point. Les collisions qui nous intéressent vont donc toutes se produire dans l’élément
de volume dr. Dans l’élément de volume dr dv les termes de perte et de gain seront
respectivement I (−) dr dv et I (+) dr dv
12.9.1 Terme de perte I
(−)
Considérons l’élément de volume dr dv. La diminution du nombre de particules dans cet
élément de volume provient de collisions entre les particules de vitesse v et celles ayant
une vitesse v 1 quelconque. Les particules ont, après la collision, les vitesses v et v
1 .
Calculons le nombre de particules par unité de temps qui sont telles que (v, v 1 → v , v
1 ).
En appliquant les principes de la section 12.2.2, on trouve pour I (−) dr dv :
s
(v, v 1 → v
, v
1 ) dv
dv
1
× [f (r, v 1 , t) dr dv 1 ] ×
|v − v 1 | f (r, v, t) dv
(74)
• Le premier terme entre crochets représente le nombre de molécules par unité de temps
qui subissent une collision de type (v, v 1 → v , v
1 ) pour un flux incident unité et pour
une seule molécule cible.
• Le deuxième terme représente le nombre de particules cibles (ici les particules de
vitesse v 1 ).
• Le troisième terme entre crochets représente le flux relatif de particules de vitesse v
sur les particules de vitesse v 1 (cf. section 7.5 pour le principe de la méthode). Ce flux
est calculé en prenant la vitesse relative |v − v 1 | (cf. section 12.7 sur le problème à deux
corps).
Physique statistique
L’équation de Boltzmann sans collision, Df = 0, exprime la conservation du nombre
de particules dans un élément de volume de l’espace de phase qui se déplace au cours
du temps (dr dv → dr dv lorsque t → t = t + dt). À cause des collisions, certaines
particules vont sortir de cet élément de volume et d’autres y entrer. En effet, une particule dans dr dv peut, après une collision avec une autre particule qui n’appartient pas
à cet élément de volume, en sortir (dr dv → dr dv ). De même, la collision de particules extérieures à dr dv peut conduire à une particule dans cet élément de volume
(dr dv → dr dv). Soit I (−) le terme de perte et I (+) le terme de gain par unité de volume et de vitesse. L’équation cinétique tenant compte des collisions à deux corps est
dénommée équation de Boltzmann. Elle s’écrit sous la forme compacte suivante :
Df (r, v, t) = −I
(−) + I
(+)
(73)
Nous allons maintenant évaluer les termes de perte et de gain. Considérons pour cela les
éléments de volume dr centré en r et dv centré en v. Les quantités dr et dv sont supposés infiniments petites à l’échelle macroscopique afin que l’on puisse les traiter comme
des éléments différentiels au sens mathématique. Ils sont toutefois microscopiquement
grands pour contenir un nombre appréciable de particules (cf. plus haut). L’hypothèse
que nous avons faite sur la variation lente de la fonction de distribution f (r, v, t) est nécessaire pour qu’elle soit pratiquement constante dans dr ou dv. Nous supposons les
particules ponctuelles et l’interaction entre celles-ci de très courte portée. Cela signifie que les collisions ne se produiront que si les particules sont pratiquement au même
point. Les collisions qui nous intéressent vont donc toutes se produire dans l’élément
de volume dr. Dans l’élément de volume dr dv les termes de perte et de gain seront
respectivement I (−) dr dv et I (+) dr dv
12.9.1 Terme de perte I
(−)
Considérons l’élément de volume dr dv. La diminution du nombre de particules dans cet
élément de volume provient de collisions entre les particules de vitesse v et celles ayant
une vitesse v 1 quelconque. Les particules ont, après la collision, les vitesses v et v
1 .
Calculons le nombre de particules par unité de temps qui sont telles que (v, v 1 → v , v
1 ).
En appliquant les principes de la section 12.2.2, on trouve pour I (−) dr dv :
s
(v, v 1 → v
, v
1 ) dv
dv
1
× [f (r, v 1 , t) dr dv 1 ] ×
|v − v 1 | f (r, v, t) dv
(74)
• Le premier terme entre crochets représente le nombre de molécules par unité de temps
qui subissent une collision de type (v, v 1 → v , v
1 ) pour un flux incident unité et pour
une seule molécule cible.
• Le deuxième terme représente le nombre de particules cibles (ici les particules de
vitesse v 1 ).
• Le troisième terme entre crochets représente le flux relatif de particules de vitesse v
sur les particules de vitesse v 1 (cf. section 7.5 pour le principe de la méthode). Ce flux
est calculé en prenant la vitesse relative |v − v 1 | (cf. section 12.7 sur le problème à deux
corps).